1. Метод ітерації для систем лінійних алгебраїчних рівнянь

   1. Побудова ітераційної послідовності

Нехай дана система з рівнянь з невідомими:

(12.1)

Вважаємо, що коефіцієнти при невідомих і вільні члени є дійсними числами.

Вектор називається розв’язком системи (12.1), якщо при підстановці його координат в систему кожне рівняння перетворюється в правильну числову рівність. Надалі будемо вважати, що визначник

системи не дорівнює нулю. Як відомо, це забезпечує існування і єдиність рішення на всьому .

У курсі алгебри вивчається ряд точних методів розв'язання системи (12.1). Найбільш відомими серед них є правило Крамера і метод Гауса. Однак при великому числі невідомих схеми точного рішення стають складними і вимагають великого обсягу обчислень. У таких випадках зазвичай використовуються різні наближені (ітераційні) методи.

Щоб скористатися принципом стискаючих відображень і побудувати ітераційний процес наближення до точного рішенням, систему (12.1) попередньо призводять до еквівалентної системі виду

(12.2)

Назвемо систему (12.2) зведеною. Позначивши

її можна записати в матричній формі:

(12.2')

Покажемо два способи перетворення системи (12.1) до виду (12.2).

Приклад 12.1. Нехай дана система загального вигляду:

(*)

Спосіб 1. Поділивши рівняння на відповідні діагональні коефіцієнти (вони не рівні нулю) і вирішивши кожне з рівнянь щодо отриманих на діагоналі невідомих з коефіцієнтом 1, одержимо зведену систему

(**)

Тут

Спосіб 2. Тепер вичленуємо одиницю з кожного діагонального коефіцієнта (наприклад, ) і виразимо отримані таким чином з 1, 2 і 3-го рівнянь відповідно:

(***)

В цій системі

Матрична форма запису переконує, що наведена система (12.2) являє собою рівняння виду (11.1) з відображенням

(11.3)

переводять простір n-мірних векторів в себе. Кожному вектору це відображення ставить у відповідність єдиний вектор, координати якого обчислюються за допомогою виразів в правій частині (12.2):

Розв’язок системи (12.2) є нерухомою точкою відображення F. Рекурентна формула (11.6) в даному випадку запишеться так:

(12.4)

або в координатній формі:

(12.5)

Таким чином, взявши будь-який вектор і підставивши його координати в праву частину системи (12.2), отримаємо новий вектор який приймемо за . При цьому, згідно (12.5),

Потім обчисленням , знаходимо вектор . Діючи далі за аналогічною схемою, отримуємо ітераційну послідовність для системи (12.2).

Приклад 12.2. Побудуємо ітераційну послідовність для системи (**), взявши в якості вектор . Підставивши координати цього вектора в праву частину (**) і провівши обчислення, знайдемо . Тепер підставимо туди ж координати вектора і будемо мати . І так далі. Тим самим при обраному отримуємо послідовність:

… . ●

Вправи

1. Показаний у прикладі 12.2 перший спосіб отримання наведеної системи вимагає, щоб всі діагональні коефіцієнти були не рівні нулю. Як слід вчинити, щоб цим способом перетворити систему:

Проведіть перетворення першим і другим способами.

2. Знайдіть три члени ітераційної послідовності для системи (***) при