
- •Лекція № 11 стискаючі відображення і метод ітерації
- •Основні визначення
- •Принцип стискаючих відображень
- •Метод ітерації для рівнянь з одним невідомим
- •Метод ітерації для систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Побудова ітераційної послідовності
- •Достатня умова збіжності ітераційної послідовності
- •Метод ітерації для систем нелінійних рівнянь
Лекція № 11 стискаючі відображення і метод ітерації
Одним з найбільш важливих інструментів математичного аналізу є теорема Банаха, яку називають також принципом стискаючих відображень. У цьому розділі теорема використовується для обґрунтування ітераційного методу наближеного розв'язку рівнянь з одним невідомим і систем рівнянь.
Основні визначення
В першій лекції було введено поняття метричного простору як деякої множини X із заданою на ньому метрикою (відстанню) ρ. Тим самим метричний простір являє собою пару (X, ρ), що складається з множини і відстані. Зміна будь-якого компонента цієї пари означає зміну метричного простору. Для стислості метричні простори будемо позначати так само, як і множини, за винятком випадків, коли зазначення відстані необхідно для конкретизації просторів.
Також
в
1.2
розглянуті
приклади
метричних
просторів,
серед
яких
простір
R
дійсних
чисел
з
метрикою,
яка визначається
за
формулою
(1.1),
і три
простори
n-мірних
дійсних
числових
векторів
Rn
з
метриками
(1.2)-(1.4).
Коли
необхідно підкреслити
вибір
відстані
в
просторах
векторів,
простір
Rn
з метрикою
ρ1,
будемо
позначати
через
,
з
метрикою
ρ2
–
,
з
метрикою
ρ∞
–
.
В
іншому
випадку
нижні
індекси
опускаємо.
При
n=1
зазначені
метричні простори векторів є не чим
іншим, як простором R,
оскільки тоді вектори мають одну числову
координату, а всі ці три відстані між
одновимірними векторами
і
рівні
.
Простори
R,
є основними
в даному розділі. Крім них знадобляться
і інші простори, що визначаються на їх
базі за такою схемою. Нехай X
—
метричний простір. Взявши будь-яку
підмножину множини X,
на ній природно ввести ту ж метрику
,
що і на X.
Тоді вийде новий метричний простір,
який називається метричним
підпростором
простору
X.
Наприклад, проміжки (0;1) і [0;3] можна вважати метричними підпросторами простору R, оскільки відстань між точками цих проміжків також визначається за формулою (1.1). У свою чергу, інтервал (0;1) є метричним підпростором відрізка [0;3].
З
курсу математичного аналізу відомо
поняття функції однієї або кількох
числових змінних, значеннями якої є
числа. Аналогічно визначається функція
в разі довільних множин М
і N.
При цьому замість терміна «функція»
часто використовуються терміни
«відображення» чи «оператор». Якщо
,
то елемент
називають образом
елемента х
при відображенні F.
Як і у випадку функцій, x
можна називати аргументом,
a F(x)
—
значенням
відображення F,
відповідним х.
Множина
М
називається областю
визначення відображення
F
(позначимо його DF),
а множина
— множиною
значень
цього відображення.
В цьому розділі мова піде про розв'язання рівнянь виду
(11.1)
де
F
є відображенням, заданим на одному з
основних метричних просторів або на
якому-небудь їх підпросторі. Це рівняння
має сенс, якщо х
і F(x)
є або числами, або числовими векторами
однієї і тієї ж розмірності. Більш того,
завдання пошуку наближених рішень і
оцінки їх похибок вимагають, щоб відстані
між аргументами і між відповідними їм
значеннями вимірювалися однаково. Отже,
множина
значень відображення F
має бути підмножиною того ж основного
метричного простору, в якому знаходиться
її область визначення.
Не може бути, наприклад, рівняння виду
(11.1) з таким відображенням F,
що
,
а
,
або
,
а
У випадку коли F — дійсна функція однієї змінної, рівняння (11.1) являє собою рівняння з одним невідомим. Розглянуті в 12.1 та 12.2 наведені системи з п рівнянь з п невідомими є окремими випадками рівняння (11.1) з відображенням типу «вектор → вектор».
Визначення
11.1.
Елемент
,
при якому є правильною рівність
називається розв’язком (коренем) рівняння (11.1).
Розв'язок
рівняння (11.1) називають також нерухомою
точкою відображення F,
оскільки його образ
збігається з
.
Приклад 11.1.
Функції
відповідає рівняння виду (11.1):
x. Корінь х=0,5 цього рівняння є нерухомою точкою функції
.
Рівняння
не має коренів, отже, у функції
нерухомих точок немає.
При відображенні
, що діє в просторі
, отримаємо рівняння
(у векторній формі), яке можна записати у вигляді системи рівнянь (в координатній формі)
Нерухомою точкою даного відображення є вектор (0,0).
Нехай на R3 визначено відображення
, де 0 = (0, 0, 0) – нульовий вектор. В цьому випадку рівняння виду (11.1) скласти не можна, бо в його лівій частині буде тривимірний вектор, а в правій – невід'ємне число. Зрозуміло, що у даного відображення не може бути й нерухомої точки. ●
Визначення
11.2.
Нехай
X
– метричний простір. Кажуть, що F
відображає
X
в себе, якщо
,
тобто образ F(x)
будь-якого елементу
належить цьому ж простору.
Відображення,
що переводить в себе деякий основний
простір або його підпростір, володіє і
зазначеним вище властивістю, при якій
має сенс рівняння (11.1).
Зворотне, взагалі кажучи, невірно.
Дійсно, якщо раніше від заданого на
множині X
відображення F
було потрібно лише, щоб X
і множина його значень
знаходилися в одному і тому ж основному
просторі, то тепер має бути
.
Специфіку
відображення метричного простору в
себе показує і такий факт: з
не випливає, що F відображає в себе кожну
підмножину
D
X.
Приклад 11.2.
Дійсні
функції
і
відображають у себе свою область
визначення R.
Нехай
тепер
.
Оскільки
,
можемо сказати, що функція
,
відображає X
в себе. А от функція
не відображає X
в себе, оскільки множина її значень
дорівнює відрізку [-2,2].
Більш того,
не відображає у себе жоден відрізок
,
крім одноточкового відрізка [0,0]
(переконайтеся в цьому!).
●
Центральну роль надалі будуть відігравати наступні відображення.
Визначення 11.3. Нехай X – метричний простір. Задане на X відображення F називається стискаючим відображенням, або відображенням стискання на цьому просторі, якщо
F відображає X в себе;
F задовольняє на X умові Ліпшиця:
існує
число q,
таке,
що
для
всіх
(11.2)
Число q при цьому називають коефіцієнтом стискання.
Помічаємо,
що нерівність (11.2) вимагає від відображення
стискання більш сильної властивості,
ніж та, при якій образи будь-яких двох
різних елементів
виявлялися на меншій відстані один від
одного, ніж.
від
Очевидно також, що коефіцієнт стискання
визначається неоднозначно. Якщо,
наприклад, нерівність (11.2) вірна при
,
то воно вірно і при будь-якому числі q з
пів інтервалу [0,6;1).
Виконання наведених у визначенні 11.3 умов залежить як від особливостей відображення F, так і від простору, на якому воно розглядається. З цієї причини властивість стискання відображення, що має місце на X, зазвичай не поширюється на більшість його підпросторів. І навпаки, якщо відображення F володіє цією властивістю на якихось підпросторах X, воно може не виявитися стискаючим на всьому X.
Приклад 11.3.
Перевіримо,
чи буде відображення
стискаючим на кількох обраних нами
метричних просторах.
Нехай
.
Зрозуміло, що функція
відображає R
в себе. З'ясуємо, чи задовольняє вона
умові Ліпшиця. По теоремі Лагранжа для
будь-яких двох різних точок
маємо
(11.3)
де
число c
лежить між
,
і
.
Якщо взяти
,
то, оскільки
при всіх
,
отримаємо нерівність
.
Це говорить про порушення умови Ліпшиця
на R
і, відповідно, про те, що дана функція
не є стискаючою на R.
Тепер
візьмемо простір
.
Функція
відображає обраний відрізок в себе, бо
для значення
значення
.
Використовуючи рівність (11.3)
для довільних
з цього відрізка,
будемо
мати
Значить,
відображення
на даному просторі стискаюче, причому
коефіцієнтом
стиснення
можна вважати
.
На
відрізку
ця функція не буде стискаючою, хоча і
задовольняє на ньому
умові
Ліпшиця (перевірте останнє твердження!).
Справа в тому, що вона не відображає у
себе цей відрізок, оскільки жодне
значення
,
не належить
[1;2].
●
Нарешті,
нам знадобиться поняття збіжності
послідовності
елементів метричного простору
.
Визначення
11.4.
Кажуть, що послідовність
сходиться
до елементу
(записується:
)
щодо
метрики
,
якщо
(11.4)
Елемент
називається при цьому межею
послідовності
щодо
метрики
.
У
разі числових послідовностей умова
(11.4) означає:
при
.
Коли
–
послідовність
-мірних
векторів, в позначенні
-го
вектора індекс
будемо писати вгорі:
.
Можна показати, що послідовність векторів
у розглянутих нами
метричних
просторах сходиться до деякого вектора
тоді і тільки тоді, коли всі послідовності
координат
,
сходяться до відповідних координат
цього
вектора
(вправа 11.7).
Зважаючи на це, наприклад,
відносно
будь-якої з трьох метрик
на
.
Вправи
Покажіть, що функція відображає в себе
, але не відображає у себе жоден відрізок , де
.
Переконайтеся, що функція
не відображає у себе область свого визначення, проте є проміжки, які дана функція переводить в себе. Знайдіть найбільший проміжок з такою властивістю.
Знайдіть множину значень заданого на відображення
і переконайтеся, що
відображає в себе.
Покажіть, що відображення:
є стискаючими на своїх областях визначення.
1. Покажіть, що функція
не є стискаючим відображенням на відрізку
Знайдіть хоча б один відрізок, на якому дана функція буде стискаючою.
Нехай дано відображення
безлічі двовимірних числових векторів в себе, де
Напишіть формули обчислення координат вектора
і знайдіть образ вектора
при цьому відображенні.
Напишіть відповідну систему рівнянь виду (11.1).
Покажіть, що є відображенням стискання на
Нехай дана послідовність -мірних числових векторів
Доведіть, що збіжність послідовності
до вектора
в просторах рівносильна покоординатній збіжності:
при
всіх
Знайдіть границю послідовності двовимірних векторів
і визначте номер , починаючи з якого члени
стають ближче ніж на
до цієї границі відносно відстаней