2. Основні позиційні задачі

Для успішного виконання завдання необхідно добре засвоїти графічні способи розв’язання ряду елементарних позиційних задач, що наведені в цьому розділі.

Задача 1. Через горизонтальну пряму (рис. 5) провести площину , ухил (спад) якої .

Рис. 5

Задана пряма буде однією з горизонталей площини . Перпендикулярно до неї у будь-якому місці проводять напрям масштабу спаду , на якому від заданої прямої відкладають відрізки рівні інтервалу .

(2)

Біля штрихів, що обмежують відрізки, пишуть відповідні числові позначки і проводять ряд горизонталей заданої площини .

Задача 2. Через похилу пряму провести площину , спад якої (рис. 6). Спочатку розглянемо розв’язання задачі на наочному зображенні.

Рис. 6

Побудуємо допоміжний прямий круговий конус, вершина якого розташована на заданій прямій в точці, що має цілу числову відмітку (наприклад, в точці , див. рис. 6а). Нахил твірної конуса дорівнює спаду шуканої площини. Якщо площина проходить через пряму і є дотичною до конуса, то горизонталі площини мають бути дотичними до відповідних горизонталей конуса. При висоті конуса м та заданому ухилі радіус основи конуса буде дорівнювати інтервалу площини :

м (3)

З точки (див. рис. 6б) радіусом , взятим у масштабі рисунка, проводять коло – горизонталь поверхні конуса з числовою позначкою 7. Дотична буде горизонталлю шуканої площини , масштаб спаду якої проградуйований відрізком .

Побудовану площину можна розглядати як укіс насипу, брівкою якого є пряма . Якби точки та мали відмітки 9, то площина була б укосом виїмки (допоміжний конус був би повернутий вершиною донизу).

Задача 3. Через задану на рисунку дугу кола, що лежить в горизонтальній площині (площині рівня) провести конічну поверхню (рис. 7а). Ухил твірних дорівнює 1:2.

Рис. 7.

З центра дуги проведемо нормаль у будь-якому напрямі, і від місця її перетину з дугою (всередину, або назовні) відкладемо відрізки, рівні інтервалу згідно з прийнятим масштабом рисунка та заданим ухилом. На рисунку 7а показано побудову фрагменту насипу, а на рисунку 7б – фрагменту виїмки.

Задача 4. Побудувати лінію перерізу топографічної поверхні з площиною (заданою масштабом спаду ).

Побудова зводиться до знаходження точок перетину горизонталей площини та топографічної поверхні, які мають однакові числові відмітки (рис. 8). Якщо з’єднати ці точки відрізками, то отримана ламана лінія і буде шуканою лінією перерізу площини з топографічною поверхнею. Точки з’єднуються відрізками прямої лінії, оскільки умовно вважається, що топографічна поверхня між суміжними горизонталями – плоска.

Рис. 8

Задача 5. Визначити лінію перерізу конічної та топографічної поверхонь. Ухил твірних конічної поверхні дорівнює 1:2. Задано вершину конічної поверхні (точку ), яка має відмітку 18 (рис. 9).

Рис. 9

Побудова лінії перерізу цих поверхонь аналогічна тій, яку ми виконали в попередній задачі, тобто спочатку знаходимо точки перетину однойменних горизонталей заданих поверхонь, а потім з’єднуємо їх відрізками ламаної лінії.

Задача 6. Визначити лінію перерізу площини, заданої масштабом спаду з конічною поверхнею, заданою вершиною та проекцією твірної (рис. 10).

Рис. 10

Для розв’язання цієї задачі спочатку треба проградуювати твірну (знайти на ній точки з цілими числовими відмітками), а потім провести через них горизонталі конічної поверхні. Також проводять горизонталі площини (перпендикулярно лінії масштабу спаду). Точки перетину однойменних горизонталей з’єднують плавною кривою. Якщо ухил поверхонь (площини і конуса) однаковий, то шукана крива буде параболою.

Задача 7. Визначити лінію перерізу укосу виїмки з топографічною поверхнею у випадку, коли їх горизонталі не перетинаються (рис. 11).

У зв’язку з тим, що в межах рисунка горизонталі площини та топографічної поверхні не перетинаються, а лінія перерізу, цілком ймовірно, може бути між горизонталями з позначками 19 та 20, то віднайдемо спільні точки поверхонь таким чином: на топографічній поверхні візьмемо довільну пряму і знайдемо точку її перетину з площиною укосу. Для цього через пряму проведемо довільну допоміжну площину (вона визначається горизонталями та ). Лінія перерізу допоміжної площини з топографічною поверхнею перетинає пряму у точці . Це і буде спільна точка для укосу виїмки та топографічної поверхні. Другу точку знайдемо за допомогою довільної прямої аналогічно (див. рис. 11, 12).

Рис. 11

Рис. 12.

Задача 8. Визначити лінію нульових робіт при проектуванні земляного полотна (рис. 13), якщо ухил земляного полотна заданий графічно, а ухили укосів насипу та виїмки 1:1. Для спрощення на ділянці виїмки водовідвідні канави (кювети) не показані.

Рис. 13.

Аналіз розташування горизонталей на плані місцевості та горизонталей земляного полотна показує, що в лівій частині треба споруджувати насип, а в правій – виїмку. Місце нульових робіт, очевидно, буде між 39 та 40 горизонталями. Отже, для визначення положення лінії нульових робіт досить знайти точки перетину брівок земляного полотна з топографічною поверхнею. Для цього через ці прямі (брівки) треба провести площини укосів так, як це зроблено в задачі 2. Лінії перетину південного укосу виїмки з топографічною поверхнею між горизонталями 39 та 40 та північного – перетинають брівки відповідно в точках та (див. рис. 13, 14). Ці точки і визначають положення лінії нульових робіт.

Рис. 14

Задача 9. Побудувати профіль А-А (рис. 15) топографічної поверхні.

Рис. 15

Цю задачу можна розв’язати двома способами.

Топографічну поверхню розтинають вертикальною площиною А-А, а потім суміщають її з площиною рівня у напрямку А-А і безпосередньо на ній будують профіль. Для цього з точок перетину горизонталей з вертикальною площиною проводять перпендикуляри і на них у масштабі рисунка відкладають висоту цих точок над площиною рівня (в даному випадку площина рівня прийнята на відмітці 10). Кінці перпендикулярних відрізків з’єднують відрізками прямих. Отримана лінія і буде профілем місцевості в заданому напрямку (рис. 15).

Такий спосіб побудови профілю досить простий, але при насиченості рисунка різними деталями та складності рельєфу місцевості утруднює читання рисунка. Тому досить часто, особливо при проектуванні залізниць та автомобільних шляхів, так звані поперечні профілі, які будуються на кожному пікеті та на характерних точках траси, виконують на окремих аркушах. Не вдаючись до подробиць оформлення таких профілів в реальних проектах, покажемо принцип їх побудови.

На вільному полі рисунка, або на окремому аркуші проводять горизонтальну лінію, яку називають основою або базою профілю, їй присвоюють найменшу відмітку, що є на заданому напрямку, або на 1-2 м менше (в нашому випадку як і на рис. 15 за базову прийнята відмітка 10). Зліва проводять вертикальну лінію і на ній в масштабі рисунка відкладають відрізки, рівні перевищенню в 1 м, і точкам поділу присвоюють відповідні відмітки. Через ці точки проводять горизонтальні прямі, які відповідають горизонталям рельєфу (рис. 16).

Рис. 16

На базовій горизонтальній прямій вибирають довільну точку ( ) і від неї відкладають відстані між точками перетину вертикальної площини А-А з горизонталями місцевості. Це можна зробити за допомогою циркуля, або складеного вдвоє папірця відповідної довжини (папірець ребром згину прикладають до рисунка місцевості по лінії А-А і на ньому відмічають відповідні точки перетину з горизонталями, а потім переносять їх на базову горизонталь профілю).

Під точками, перенесеними на базову горизонталь, підписують відповідні відмітки. З цих точок проводять вертикальні лінії до перетину з відповідними горизонталями. Якщо з’єднати точки перетину цих ліній з горизонталями відрізками прямих, то будемо мати профіль в заданому напрямі А-А.