11.3 Статистические методы обработки экспериментальных данных

Можно выделить следующие задачи статистического анализа:

1. По данным выборки дать описание генеральной совокупности, построив доверительные интервалы для параметров распределения.

2. Определить значимость различия между двумя совокупностями (чаще всего сравнивают опыт с контролем).

3. Изучить статистическую связь между двумя совокупностями (регрессионный и корреляционный анализ).

Решению любой из этих задач предшествует общая процедура, включающая этапы:

а) Упорядочение эмпирической совокупности. Представление вариационного ряда;

б) Выбор математической модели распределения;

в) Отбрасывание «выскакивающих» вариант (или оценка грубых ошибок).

Процедура построения вариационного ряда подробно рассмотрена в разделе 11.1. Остановимся на процедуре выбора математической модели распределения, ее же можно отнести к задаче проверки гипотез.

Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону

Рассмотрим один из наиболее распространенных критериев – критерий (К.Пирсона) применительно к нормальному закону с плотностью распределения:

.

В соответствии с этим критерием, меру близости эмпирического распределения к теоретическому (нормальному закону), с параметрами и , оценивают по величине: , где:

m_i - частоты эмпирического распределения,

np_i - частоты предполагаемого теоретического (нормального) распределения;

- число интервалов разбиения в эмпирическом распределении.

Полученное расчетное значение сравнивают с теоретическим, табличным значением ( – уровень значимости, – число степеней свободы, в данном случае . В случае , нулевая гипотеза Н₀ о совпадении эмпирического распределения с теоретическим принимается, в противном случае, если , гипотеза отвергается, нельзя считать, что эмпирическое распределение соответствует теоретическому – нормальному закону распределения.

Замечания: 1) Критерием можно пользоваться только при достаточно большом числе вариант ( ).

2) Число степеней свободы v равно разности между значением числа независимых величин, использованных при вычислении этой статистики (в данном случае k), и числом уравнений связи, которых, в случае нормального распределения, три:

; ; .

Эти уравнения связи определяют те значения характеристик , по которым строилось теоретическое нормальное распределение.

Пример 1. Сравним эмпирическое распределение содержания воды в тканях (см. п.11.1 пример 3) с теоретическим нормальным законом.

Расчеты проводятся по схеме:

1. Строится интервальный вариационный ряд и вычисляются его выборочные характеристики (см. п.11.1 пример 3).

2. Находятся новые границы интервалов z_i в долях S относительно по формуле:

( ).

При этом начало нового интервала и конец последнего принимаются, соответственно, ; .

3. Для каждого z_i ( ) находим значения интегральной функции Лапласа по соответствующей таблице.

4. Для каждого интервала определяем:

а) Теоретическую вероятность .

б) Теоретические частоты (п – объем выборки).

в) Квадрат разности эмпирической и теоретической частот .

г) Отношение .

5) Рассчитываем сумму: .

Для нашего примера расчеты по указанной схеме приведены в следующей таблице:

№ интер-вала	Границы интервалов (ai-1,ai)	mi	Границы интервалов (zi-1,zi)
1.	(87.25,87.75)	4	( )	-0.500	0.122	6.1	4.41	0.72
2.	(87.75,88.25)	11	(-1.165,-0.640)	-0.378	0.1391	6.96	16.22	2.32
3.	(88.25,88.75)	11	(-0.64,-0.12)	-0.2389	0.1911	9.16	3.38	0.37
4.	(88.75,89.25)	10	(-0.120,0.408)	-0.0478	0.2048	10.24	0.058	0.00
5.	(89.25,89.75)	6	(0.408,0.934)	0.1570	0.1670	8.34	5.47	0.67
6.	(89.75,90.25)	3	(0.934,1.470)	0.3240	0.1052	5.26	5.11	0.97
7.	(90.25,90.75)	3	(1.470,2.000)	0.4292	0.0480	2.40	0.36	0.15
8.	(90.75,91.25)	0	(2.000,2.500)	0.4772	0.0165	0.82	0.67	0.65
9.	(91.25,91.75)	2	(2.500, )	0.4937	0.0063	0.32	2.82
СУММА		50			1.000	50.00		5.85

В таблице два последних интервала объединены, границы объединенного интервала в z , эмпирическая частота в нем равна 2, а теоретическая – 1,14. Объединение крайних интервалов рекомендуется в случаях, когда имеются «пустые» интервалы. Сумма значений по последнему столбцу характеризует расчетное значение критерия . Число степеней свободы, с учетом объединения интервалов, равно 8 – 3 = 5.

В таблице 5 приложения находим – в строке, соответствующей степени свободы 5, первое значение, большее и соответствующее ему Значению соответствует Значит, с вероятностью 1 – 0.2 = 0.8 (или с надежностью 80%) можно считать, что исследуемое эмпирическое распределение совпадает с теоретическим нормальным законом