
- •Раздел 10. Элементы теории вероятностей
- •10.1 Событие и вероятность
- •Статистическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности.
- •Сведения из комбинаторики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы
- •10.2 Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения
- •Теорема умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы:
- •10.3 Дискретные и непрерывные случайные величины
- •Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Свойства дисперсии дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Контрольные вопросы
- •10.4 Некоторые законы распределения случайных величин (биномиальный, равномерный, нормальный)
- •Биномиальное распределение
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •График плотности распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы
- •10.5 Введение в теорию случайных процессов
- •Математическое ожидание случайного процесса и его свойств
- •Дисперсия случайного процесса и её свойства.
- •Пример стохастической модели роста популяции
Дисперсия случайного процесса и её свойства.
Дисперсией СП X(t) называется неслучайная неотрицательная функция Dx(t), которая при любом значении t равна дисперсии соответствующего сечения СП:
Если сечение СП X(t) при заданном t является дискретной случайной величиной, то дисперсия находится по формуле:
В случае, если сечение СП X(t) при данном t – непрерывная случайная величина с плотностью f(t,x):
Свойства дисперсии СП:
Если X(t) – случайная функция, а – неслучайная функция, то:
1)
2)
3)
Вместо дисперсии
часто рассматривают средне-квадратическое
отклонение СП:
Пример стохастической модели роста популяции
Рассмотрим стохастический аналог упрощенного процесса роста популяции с учетом только размножения.
При детерминистском подходе
предполагается, что существует
определенная скорость размножения
,
такая, что численность популяции n
за время
увеличивается на
.
Принимая
и деля обе части на
,
после приравнивания интегралов обеих
частей равенства,
,
получим:
.
При построении вероятностной модели,
можно принять простейшее предположение
о том, что вероятность появления одного
потомка у данной особи в интервале
времени
равна
.
Тогда вероятность появления одной новой
особи в целой популяции за время
равна
.
Обозначим
-
вероятность того, что в момент t
в популяции имеется ровно n
особей. Тогда то, что в момент
число особей в популяции равно
,
означает, что либо: а) в момент t
было n особей и за
время
это число не изменилось, либо: б) в момент
было
особей и за время
появилась еще одна.
Получаем соотношение:
Откуда после перегруппировки и деления
на
получим:
(1)
Это уравнение справедливо при
Легко доказать, что при
уравнение упрощается и имеет вид:
(2)
Так как в случае, когда процесс начинается
при значении
,
отсутствует член, содержащий
.
Уравнение (2) легко интегрируется с
учетом того, что
(аналогия с детерминистской моделью).
Умножая обе части (2) на
,
деля на
и приравнивая интегралы обеих частей,
получим:
=
.
Полученный результат подставляем в
уравнение (1) для
и интегрируем, используя начальное
условие
Решая соответствующее линейное
неоднородное уравнение первого порядка,
получим:
(3)
Формула (3) подставляется далее в уравнение
(1) для
и решается полученное уравнение с
начальным условием
Повторяя далее процесс, придем к решению
в общем виде:
(4)
То есть пришли к частному случаю биномиального распределения.
Контрольные вопросы
Дайте определение случайной функции и случайного процесса.
Математическое ожидание случайного процесса и его свойства.
Дисперсия случайного процесса и ее свойства.
Особенности стохастической модели роста популяции и ее свойства.