7 Инт. Рациональных функций.
Рациональной
фун. или дробью наз. отношение двух
полиномов, R=P/Q,
где
.
Дробь
R
наз. правильной если
,
и она наз. неправильной если
.
Простейшими наз.правильные дроби вида
.
Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.
Правило составления суммы: знаменатель разл. на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;
Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде
суммы
,
где
целая часть(полином), а
правильная дробь.
,
где
простейшие дроби.
Инт.
от дроби находим по формуле
8 Инт. иррациональных функций
8.1 Инт. дробно-линейных иррац.
8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
1) p целое, 2) (m+1)/n целое, 3) (m+1)/n+p целое.
**8.3 Инт. кв. иррац., подстановки Эйлера
,
=
9 Инт. тригон. выражений
9.1 , ; 9.2 , , , ;
9.3 , , , ; 9.4
пр.
,
Опред. интегралы
1. Опред.
2. Свойства ( лин., адд., монот.)
3. Т. о ср.знач.
4. Формула НьютонаЛейбница.
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
6. Замена переменной
7. Инт. по частям опред. интегралов.
1. Опр. Пусть f опред. и ограничена на отрезке [a, b],
разбиение [a,
b],
,
ранг разбиения,
инт. сумма f,
предел инт. сумм,
определенным
интегралом от f
по [a,
b]
наз. число
,
если предел , при этом f наз. инт. по Риману.
Пример
Справедлива следующая
Т. Если f опред. и ограничена на отрезке [a, b], и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на [a, b].
2. Свойства
1)
Лин.
2)
Адд.
3)
Монот. (1)
;
(2)
3.
Т. о ср.знач. f
непр. на [a,
b]
c[a,
b]
:
,
наз.
ср. знач. f
на [a,
b].
4.
Формула НьютонаЛейбница
Если
f
инт. на [a,
b],
и
дифф. функция F
на [a,
b]:
F'=f
, тогда
.
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
Если
f
непр. на [a,
b],
а
,
тогда
6. Замена переменной
Пусть
f
непр. на [a,
b],
непр. дифф. и
на
,
,
если
на
,
док. использовать формулу Н/Л
7. Инт. по частям опред. интегралов.
Приложения инт.
1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на [a, b], тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.
Т.
Крив. трапеция измерима, и ее пл.
Пусть
f
непр. , ≥ 0 на
и E
соответствующий крив. сектор, тогда его
пл.
пр.
1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды
,
,
,
пл. фигуры ограниченной кардиоидой.
2 Объем тел вращения, поперечные сечения
пр.
объем 1) тора, 2)
вокруг
OX
и OY,
3) эллипсоида
3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина
пр. центр масс полукруга
4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)
,
,
5 Пл. поверхности вращ. гл. кривой
6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина
Стат.
моменты:
,
;
центр
масс:
,
;
формулы
Гульдина:
,
.
Пр. ЦМ полуокружности.
Несобственные инт.
1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.
Пр.
2 Признаки сх. и рсх.
2.1)
Принцип Коши:
сх
2.2)Пусть
первообразная
,
сх
существует
Пр.
2.3)
Признак сравнения: если
и
сх.,
то сх.
2.4)
Предельный признак сравнения: если
и
,
то инт.
и
оба сх. или оба
рсх.
2.5)Если
сх., то сх. инт.
инт. наз. абс сх., обратное не верно!
3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.
4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.
DУ.
1 Задачи, которые приводят к DУ
2 Основ. понятия и определения.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл,
геометрическое толкование.
3 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
DУ с разделяющимися переменными
Однородные DУ1
Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера,
решение с помощью частных производных,
решение инт. параллельно координатным прямым
Инт. множитель зависящий от x или от y
4 Существование и единственность решения ЗК для DУ1
1. Опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.
Т.о.
DУ1
имеет вид
,
его записывают в виде
,
где
непр. в области
,
DУ2,
разрешенное относительно y,
имеет вид
,
где
непр. в области
.
Фун.
наз. реш. DУ
в
,
если
1)
непр.,
2)
,3)
.
График реш. наз. инт. кривой, само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.
Пр.
Реш.
DУ
, график которого проходит через
:
,
наз. реш. ЗК с началом
.
ЗК записывают в виде
. Семейство реш.
наз. ОР в
если
,
т.о. за счет выбора
решается ЗК с началом в любой точке Ω.
Пр.
y=(2(x−c)/3)3/2
дает ОР DУ
в
области y>0.
Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой. Пример: y=0 особое решение DУ y = y1/3
2.
Сущ. и ед. решения DУ1.
Рассмотрим
2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ
в
.
1 Т. Пусть 1) f непр. в и 2) fy ограничена в ,
сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .
Пример:
ЛDУ1
,
p
и q
непр. на [a,
b].
2
Т. Пусть 1)
−прямоугольник
:
x
− x0
a,
y−y0
b,
2) f
непр. в
и значит ограничена:
,
ИК
, проходящая через
и опред. в промежутке
x−x0 h=min(a, b/M ), если кроме того 3) fy ограничена в Ω, то ИК ед.
Пр. 1) y = x2 + y2 , y(0)=0, f(x, y)= x2 + y2 ; 2) y = y2 , y(0)=1, f(x, y)= y2
3. DУ1, решения которых сводится к интегралам
1
DУ
с РП, пр.
2
ОDУ1,
пр.
3 ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. y =2x(x2+y);
4
DУ
Бернулли:
,
0 и 1, метод Бернулли.
5
Уравн. в полных дифф. Пусть
,
уравн.
наз.
в ПD
в
если левая часть является полным
дифференциалом некоторой фун. u
двух переменных, т.е.
u
:
,
и тогда ОР имеет вид
.
Пусть односвязная область в R2 , а M и N непр. дифф. в , тогда
будет
полным дифференциалом т.и т.т. когда
выполнено условие Эйлера:
в
6 Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.
** DУ1, неразрешенные относительно y (схемы решений)
1.
.
Пусть α0
−корень уравнения
,
тогда y
=0
,
y=0 x+c, 0 =(y c)/x, а F((y c)/x)=0 −общий интеграл, все!
2.
. Пусть
,тогда
,
найдем x:
,
,
; получили общий интеграл в парам. форме:
,
все!
Пр. y=( y )2 exp(y ).
3.
.
Пусть
p=y
,тогда
x=F(p), dy=pdx=pF(p)dp,
y=
pF(p)dp=(p)+c;общий
интеграл:
x=F(p), y=
(p)+c, все!
Пр. 2y=x(1+( y)2 )1/2 .
4.
.
Пусть p=
y,
тогда y=F(x,p),
dy=Fx
dx+Fp
dp=pdx
,
получили
уравнение для x:
,
его решение (x,
p,
c)=0
вместе с y=F(x,p)
дают решение исходного уравнения в
парам. форме, все!
5.
.
Пусть p=
y,
тогда x=F(y,p),
dy=pdx=pdF(y,p),
получили уравнение для y: M(y,p)dy+N(y,p)dp=0, его решение (y,p,c)=0 вместе с x=F(y,p) дает решение исходного уравнения, все!
Пр. xy−y+(1+( y)2 )1/2 =0, y=xy +(1+( y)2 )1/2 , y=xp +(1+p2 )1/2 ,
p=p+xp +pp(1+p2 )1/2 , ( x +p(1+p2 )1/2 ) p =0.
DУ2.
1.
Определения. DУ2,
разрешенное относительно
,
имеет вид
,
где f
непр. в обл.
.
Реш. уравн. наз. фун.
:
,
разумеется
.
ЗК заключается в отыскании решения
,
где
,
при этом
должно быть опред. в некоторой окрест.
т. x0
. ЗК записывают в виде
.
Два последних равенства наз. условиями
Коши, т.
наз. начальной.
Пусть
через
проходит ровно
одна ИК . ОР наз. семейство решений
,
зависящее от двух параметров
,
для которого система
разрешима относ.
.
Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω
2 Сущ. и ед. решения. Т. Пусть 1) f непр. в Ω, 2) fy и fy огранич. в Ω ЗК в Ω имеет ед. реш.
Пр. 1) y +2 y = 0, Ω конечная область;
2)
,
p,
q
непр. на
a,
b
;
3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.
1)
,
имеем
,
2)
, пусть z=
y
, тогда z
= f(x,
z
), это DУ1,
решим его
z
=
(x,
c1
), теперь y
=
(x,
c1
),
. Пр.
3)
,
пусть z=
y
, тогда
,
это DУ1, решим его z = (y, c1 ), теперь y = (y, c1 ), это DУ с РП, его решение: dy/ (y, c1 )=x + c2 плюс y= , где ( , c1 )=0.
Пр.
1)
; 2)
; 3)
.
ЛDУ
1. Определения. Пусть n≥1, ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида
,
где
функции
непр. на [a,b].
Уравнение опред. в полосе, которая
занимает (a,b)
вдоль x
, а y,
y,
… y(n−1)
могут принимать любые значения.
Левую
часть обозначим через
, так что ЛDУ
удобно записывать в виде
. Уравн. наз. однородным если
и неоднородным если
.
Пр.
1)
−ЛНDУ1,
можно решить по формуле ОР,
2)
−ЛОDУ2,
можно понизить порядок,
3)
−это
знаменитое уравнение Эри, решение
которого можно представить с помощью
степенного ряда.
Вид
ЛDУ
обеспечивает однозначную разрешимость
ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2
это означает, что для любого набора
x0 (a,b), y0 , z0 R сущ. ед. решение y : y( x0 )= y0 , y( x0 )= z0 .
Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.
во всем интервале (a,b).
Введем
понятие лин. завис. и незав. функций.
Конечный набор функций
наз. лин. завис., если сущ. числа 1,
2,
…m
, не все =0, такие, что
,
если сумма =0 лишь когда все i
=0, то
набор наз. лин. незав.
Т.
Набор функций лин. зависим
одна из функций равна лин. комбинация
других:
,
при некотором j.
Примеры
1)
− лин. независимые
2)
− лин. зависимые
3)
− лин. независимые
определитель
Вронского набора функций.
Т.
Набор
лин. зависим
док: один из столбцов W = лин. комбинации других,
2. ЛОDУ (структура общего решения)
Рассмотрим
однородное уравнения
.
1.
Множ. всех решений ЛОDУ
образует лин. пространство: их можно
складывать и умножать на числа как
векторы. Это следует из лин. выражения
:
2.
Если
лин. незав. решения ЛОDУn,
то W(x)
0 x
док:
допустим что
x0
:
, тогда столбцы в
лин. зав.,
, рассмотрим решение
,
по теореме ед. y(x)=0 x ,что противоречит лин. незав., все!
3.
Пусть
решения уравнения
, набор
лин. независимый W(x) 0 x.
4. Опред. ФСР ЛОDУn наз. лин. незав. набор из n его решений.
Пример
− ФСР уравнения
.
5. Для ЛОDУ n−го порядка сущ. ФСР .
док: n=2, берем x0 , y1 – решение ЗК с началом в точке (x0, 1, 0), а y2 – решение ЗК с началом в точке (x0, 0, 1), набор y1 , y2 – ФСР, т.к. W( x0 )=1.
6.
ОР ЛОДУn
имеет вид
,
где
− ФСР.
док: всякая такая комбинация является решением, это следует из лин., любое решение ЗК реализуется в таком виде, это следует из того, что W(x) 0 x , все!
3. ЛОDУ2 с постоянными коэфф.
Рассмотрим
уравн.
,
где p,
q
− действ. числа. Будем искать решение
в виде y=exp(x)
, подстановка дает кв. уравнение 2+p+q=0
, оно наз. характ. Пусть d=p2/4−q
дискриминант
1) d>0: 1,2=−p/2 ± d1/2 −два действ. различных корня,
y1=exp(1x) и y2=exp(2x) образуют ФСР (доказать)
ОР y=c1 exp(1x)+c2 exp(2x) ;
2) d=0: 1=2=−p/2 −действ. корень крат. 2 , y1=exp(1x), покажем, что y2=xexp(1x) тоже решение:
L2(xex )=L2(dex /d)=dL2(ex )/d=d((2 +p+q)ex )/d=
(2 +p)ex +x(2 +p+q)ex =0 при =1 , y1 , y2 образуют ФСР (доказать)
ОР y=(c1 +c2 x)exp(1x) ;
3) d<0: 1,2=−p/2 ±i(−d)1/2 = ± iβ −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения z1,2=e(x± iβ)x=ex(cosβx±isinβx);
действ. решения y1 =ex cosβx , y2 =ex sinβx образуют ФСР (доказать)
ОР y= ex(c1 cosβx+c2 sinβx).
4. ЛНDУ
Рассмотрим неоднородное уравнения .
1.
Теорема. ОР ЛНDУ
имеет вид y=z+y0
, где z
–ЧР ЛНDУ,
а
− ОР ЛОDУ
.
2. Отыскание ЧР ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида
y +a y+b y = f(x), a, b R1 ;
2.1)
,
где r
крат.
как корня характ. уравн.,
пр. y − y =x , y − y=x .
2.2)
,
где r
крат.
как корня характ. уравн
пр. y +4y=cosx , y + y=sinx .
2.3)
,
Uk
,
Vk
полиномы
степ.
k=max(m, n).
2.4) Суперпозиция решений f = f1 + f2 , z1 –ЧР ЛНDУ f1 , а z2 f2
z= z1 + z2 f
3 Метод Лагранжа
Рассмотрим
ЛНDУ2
.
ОР ЛОDУ2 y=c1y1+ c2y2 , где y1 ,y2 − ФСР.
Ищем решение НУ в виде
z=c1 (x)y1+ c2 (x)y2 , где c1(x), c2(x) подлежат определению,
дифференцируем z=c1 y1+c2 y2 + c1 y1 + c2 y2
полагаем c1 y1+c2 y2 =0, тогда z= c1 y1+c2 y2
дифференцируем еще раз z= c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2,
потребуем чтобы L2(z)= f(x):
c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2+p(x)(c1 y1+c2 y2 )+ q(x)(c1 y1+ c2 y2 )= f(x),
c1 y1+c2 y2 = f(x)
получили лин. систему c1 y1+c2 y2 =0, c1 y1+c2 y2 = f(x)
ее опред. W≠0, находим производные c1 и c2 ,
и после интегрирования функции c1 и c2 , а значит и z, все!
пр.
.
СDУ. 1. Основные понятия и опред.
1. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида
...
где fi i1..n непр. в области Rn+1 . уравн. НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле уравн. вида
y(n)=f(x, y, y,…y(n1)) можно переделать в НСDУ.
Пр. y= f(x, y, y ): t=x, x1=y, x2=y x1=x2 , x2= f(t, x1 ,x2 ).
2. Решением СDУ наз. набор фун. 1,2,…n , опред. на интервале
( , β) : k(t)=fk (t, 1 (t), 2 (t),… n (t)) t( , β) k1..n
3.
Удобно записывать НСDУ
в векторной форме:
, где
,
,
, решение СDУ
будет векторная функция
= (1,…n
): (t)=f
(t,
(t))
t(
, β)
4.
ЗК для СDУ
записывается в виде X=f(t,
X),
X(t0)=X0
, т. (t0
, X0
)
наз. начальной. ОР наз. семейство решений
, зависящее от n
констант, за счет выбора которых можно
решить ЗК с началом в любой т. из Ω.
2 Сущ. и ед. решения НСDУ
Пусть
1) все фун.
непр. в Ω , 2) все ЧП
огранич.
в Ω ,
тогда сущ. ед. решение ЗК с началом в любой т. из Ω.
3 Метод исключения
Для определенности рассмотрим систему из 2-х уравнений
,
Берем
1-е уравн.
и дифф. его
.
В результате получаем систему
исключаем x2 и получаем DУ2 относительно x1 .
Пр.
окончание 2-го семестра
****************************************************************************
** Дв. инт. 1. Определения.
Пусть
f
опред. и огранич. на прямоуг. A
R2
,
разбиение
A
на n
прямоуг., их пл. и диаметры =
, в
прямоуг. выберем т.
и образуем инт. сумму Римана:
.
Введем
ранг:
и опред. предел сумм:
если
:
для
которого
выполняется неравенство
незав. от выбора
.
Дв.
инт. от f
по A
наз. число
,
если предел
, при этом f
наз. инт. по A.
Нам понадобится понятие нулевой пл., E R2 имеет нулевую пл. если его можно покрыть конеч. числом прямоуг., сумма пл. которых сколь угодно мала. Пр.: график непр. функции на отрезке, кусочно-гл. кривая. Дост. признак инт.:
пусть E A имеет нулевую пл., а f непр. в A – E, тогда f инт. по A .
Опред. Множ. D R2 наз. допуст. если оно ограничено, замкнуто и его граница имеет нулевую пл.
Определим дв. инт. по допуст. множ. Пусть f непр. на допуст. множ. D , тогда прямоуг. A D,
опред.
:
,
,
она
инт. по A,
ее т. разрыва имеют нулевую пл., положим
по опред. 
Пр.
,
по опред.
Замеч.: если f ≥ 0, то инт. суммы = объему ступенчатых тел, предел таких сумм, если он наз. объемом подграфика f.
Пр.
объем 1/2 шара.
2. Свойства
1
Лин.
2
Адд. Пусть D
разд. кусочно-гл. кривой на 2 части
3
Монот. 1)
,
2)
3)
4
Т. о ср. знач. f
непр. на D
,
наз. ср. знач. f
на D.
Пр.
,
ср. знач. =2/3.
3. Вычисление
1
Повторные инт., это конструкции вида
Пр.
2
Прав. допуст. множ. Пусть
непр. на [a,b],
и D
часть плоскости ограниченная этими
графиками. Множ. D
допуст. и оно наз. прав. вдоль OY.
Пр.
− верхний полукруг, оно прав. вдоль OY:
,
и вдоль OX:
3
Т. Фубини. Пусть множ. D
прав. вдоль OY,
опред.
,
а f
непр. в D,
тогда
Пр.
4. Приложение
1
Объем и масса. Если f
≥0 и непр. на допуст. множ. D,
то ее подграфик Ω наз. цилиндр. телом и
его объем
,
если f
плот., то инт. дает массу
пластины, если f=1,
то инт. дает площадь
.
2 Стат. моменты и центр масс плоской фигуры
,
.
3
Моменты инерции плоской фигуры
.
4
Пл. графика гл. функции
.
5. Замена переменных
1 Схема замены
Пусть
G
и G'
две плоские области, G
отнесена к (x,y),
а G'
к (u,v),
и они связаны соотношениями
,
которые опред. отображение Φ из G'
в G
:
соответствует
пара
. Будем считать, что Φ удовлетворяет
следующим условиям:
1) Φ вз.-одн: G' G ;
2)
Φ гл.:
непр.
дифф.,
-
матр. Якоби,
-
якобиан;
3)
.
Формула замены в дв. инт.
Пусть
1)
−допуст.
множ., 2) f
непр. в D,
3)
и Φ(D')=D
Пр.
.
2 Дв. инт. в поляр. координатах
Φ:
,
,
,
,
Пр.
- часть кольца,
Инт. Пуассона
Т.
. Докажем
, что
1)
Инт. сх.:
дост. больших x
;
2) Пусть a>0, берем квадрат D(a)= [0,a]×[0,a] и преобразуем инт.
;
3)
Рассмотрим части кругов
в первой четверти, имеем
и
;
4)
Выч. крайние инт.
=
=
,
5)
Переходим к пределу в неравенстве
,
, все.
Тр. инт. Опред.
Пусть
f
опред. и огранич. в паралл.
A=[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3],
-разбиение
на n
паралл., их объемы и диаметры =
, в
паралл. выберем т.
и образуем инт. сумму
.
Введем ранг τ :
и опред. предел инт. сумм:
если
как только
незав. от
Тр.
инт. от f
по A
наз. число
если предел сущ., при этом f
наз. инт. по A.
Далее,
множ.
имеет
нулевой объем если его можно покрыть
конеч. числом паралл., сумма объемов
которых сколь угодно мала. Пр., график
непр. функции двух переменных на
ограниченном и замкнутом множ.,
кус-гл. поверхность имеют нулевой объем.
Признак
инт.: если
имеет
нулевой объем, а f
непр. в
,
то f
инт. по A.
Далее,
множ.
наз. допуст. если оно ограничено, замкнуто
и его граница имеет нулевой объем. Опред.
тр. инт. по такому множ.
Пусть
f
непр. на допуст. множ. Ω , тогда
параллелепипед A
Ω , опред.
:
,
,
она инт. по A
, ее точки разрыва имеют нулевой объем,
положим по опред.
.
Пр.
;
-объем
Ω
по опред.
Свойства
1
Лин.
2
Адд. Пусть D
разделена поверхностью на 2 части
, тогда
3
Монот. 1)
,
2)
,
3)
4)
Т. о ср. знач. Пусть f
непр. на допуст. множ. Ω , тогда
,
наз. ср. знач. f
на Ω.
Вычисление
1 Повторные инт. Это конструкции вида
или
Пр.
1)
2)
,
2
Прав. допуст. множ. Пусть фун.
опред.
и непр. на замкнутом и ограниченном
множ. D
с кус-гл. границей и
на D.
Множ.
наз. прав. вдоль OZ
.
3
Т. Фубини о сведении тр. инт. к повтор.
Пусть множ. Ω прав. вдоль OZ,
опред. фун.
,
а f
непр. в Ω, тогда
.
Пр.
Приведем
еще одну конструкцию повтор. инт. к
которому сводится тр. инт. Пусть Ω
занимает вдоль Z
отрезок [a,b]
и сечения D(z)
– допуст. множ., тогда
, если
внутренние дв. инт. по сечениям.
Приложение
1)
Масса тела
, объем
2) Стат. моменты и центр масс трехмерной фигуры
3)
Моменты инерции трехмерной фигуры
Замена переменных
1
Схема замены. Пусть G
и G’
две области в R3,
G
отнесена к (x,y,z),
а G'
к (u,v,w).
Предположим, что G
и G'
связаны соотношениями, запишем их в
виде
,
,
,
,
они опред. отображение Φ:G'
G
Будем считать, что Φ удовлетворяет следующим условиям:
1) Φ вз.-одн. ;
2)
Φ гл.,
- матрица Якоби,
-
якобиан;
3) .
Формула замены переменных в тр. инт.
Пусть
1)
-
допуст. множ., 2) f
непр. в Ω,
3)
и
Φ(Ω')=Ω
2 Тр. инт. в сферических координатах
Φ:
,
,
,
,
3 Тр. инт. в цилиндрических координатах
Φ:
,
,
,
Пр. выч. инт. в сферических и цилиндрических координатах
,
Обозначим его через B , в сферических координатах:
в цилиндрических координатах:
DУ
1 Задачи, которые приводят к DУ
2 Основ. понятия и опред.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл,
геометрическое толкование.
3 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
DУ с разделяющимися переменными
Однородные DУ1
Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера,
решение с помощью частных производных,
решение инт. параллельно координатным прямым
Инт. множитель зависящий от x или от y
4 Сущ. и ед. решения ЗК для DУ1
5 DУ2
Основ. понятия. Вид, решение, ЗК, ОР, сущ. и ед. решения ЗК
Понижение порядка
ЛDУ. Основ. понятия и опред.
вид , однородные и неоднородные уравн.,
пр.
1)
,
2)
,
3)
сущ. и ед. решения ЗК (определено во всем интервале (a,b))
лин. завис. и незав. теорема о лин. завис.
Пр. 1) , 2) , 3)
опред. Вронского W(x)
Т. Набор лин. зависим
ЛОDУ
1. Множ. решений ЛОDУ образует лин. пространство
2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x
3. Пусть решения уравн. ,
набор лин. незав. W(x) 0 x.
4. Опред. ФСР ЛОDУn , пример −ФСР уравн. .
5. Для ЛОDУn сущ. ФСР .
6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.
ЛОDУ2 с пост. коэфф.
ЛНDУ
ОР, нахождение частного решения ЛНDУ2 с пост. коэфф.
Метод Лагранжа
СDУ
1 Основ понятия и опред. норм. форма, ЗК и ОР
2 Сущ. и ед. решения ЗК
3 Метод исключения