Завдання 5

Обчислити наступні інтеграли

	.

3. Застосування визначеного інтеграла в задачах з геометрії Основні формули, які використовуються при розв’язанні задач

1. Площа фігури.

Криволінійною трапецією називають фігуру, обмежену відрізком [a, b] на осі Ох, відрізками прямих , , які можуть вироджуватися в точку і кривою, яку описує невід’ємна функція , . Її площа

.

У випадку і (рис. 1) площу фігури обчислюють за формулою

.

У полярній системі координат площу криволінійного сектора (рис. 2) обчислюють за формулою

.

x

У випадку параметрично заданої кривої площу криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою знаходять за формулою .

Площу фігури, обмеженої петлею (рис. 3) можна обчислити за однією з формул

2. Об’єм тіла

Об’єм тіла у випадку, коли відома площа поперечного перерізу тіла площиною, паралельною одній з координатних площин, наприклад при , дорівнює

.

Об’єм тіла обертання, утвореного при обертанні:

а) криволінійної трапеції навколо осі Ох

;

б) криволінійної трапеції

навколо осі Оу

;

в) криволінійного сектора (рис. 2) навколо полярної осі

.

3 . Довжина гладкої (неперервно-диференційовної) кривої г

(рис. 4) дорівнює .

1) Криву Г задано явно: ,

.

2) Криву Г задано параметрично:

.

4. Криву Г задано у полярних координатах: .

4. Площа поверхні тіла обертання (див. познач. у п. 2., 3.)

Приклад 7. Знайти площу фігури, обмеженої кривою та її асимптотою.

■ Пряма є вертикальною асимптотою графіка кривої. Область допустимих значень: .

Крива симетрична відносно осі Ох. Знайдемо .

Зробимо схематичний рисунок (рис. 5).

Отже, площа фігури

Застосуємо рекурентну формулу:

Враховуючи, що і отримуємо

. ■

Приклад 8. Знайти площу спільної частини фігур, обмежених лініями і .

■Знайдемо період функцій: .

Отже, досить зробити схематичний рисунок при .

Знайдемо декілька значень і занесемо їх до таблиці 1.

табл.1

	0
	4	2	4
	1	3	1

Знайдемо точки перетину кривих:

.

Отже, площа фігури

. ■

Отже, площа фігури . ■

Приклад 9. Знайти об’єм тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої астроїдою навколо осі Оу.

■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 7)

Згідно з В8 (§2, В8) маємо , тому

.■

Приклад 9. Знайти площу поверхні тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої однією аркою циклоїди і відрізком осі Ох: навколо осі Ох.

■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 8).

y

t=π

Тоді .

Знайдемо

При , тоді і

. ■

Приклад 11. Знайти довжину петлі лінії .

■ Побудуємо схематичний рисунок (рис. 9).

y

t=+

Знайдемо, що при Якщо , то . При маємо . Знайдемо . Тоді .

Знайдемо .

Отримуємо: . ■