
- •Розділ і. Визначений інтеграл Рімана і його застосування § 1. Теоретичні питання
- •§ 2. Визначений інтеграл: означення, формула Ньютона–Лейбніца. Основні теореми і формули, які використовуються при розв’язанні задач
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Формула Ньютона–Лейбніца (основна теорема інтегрального числення).
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •3. Застосування визначеного інтеграла в задачах з геометрії Основні формули, які використовуються при розв’язанні задач
- •1. Площа фігури.
- •3 . Довжина гладкої (неперервно-диференційовної) кривої г
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
Формула Ньютона–Лейбніца (основна теорема інтегрального числення).
Якщо функція
і
первісна функції на
або
якщо функція
і існує
первісна на крім скінченого числа точок розриву першого роду, тоді справедлива формула
(1)
Теорема 2 (заміна змінної). Якщо
;
;
;
строго монотонна на
(нехай строго зростає). Тоді
(2)
Теорема 3
(інтегрування
частинами). Якщо
,
тоді
. (3)
В 5. (Інтегрування парної і непарної функцій в симетричних границях)
, тоді
;
, тоді
.
В 6. (Інтегрування періодичної функції по періоду)
Якщо
,
тоді
не залежить від вибору точки
.
В 7.
Для
В 8.
Для
Приклад 6.
Знайти
,
де
.
■
є інтегральною
сумою функції
на
.
Дійсно, побудуємо поділ
поділивши
на
рівних
частин. Тоді
і виберемо
.
Функція
і
.
Оскільки
(
),
то справедлива формула (1) і
.
■
Завдання 3
Знайти
,
вказавши функцію
,
для якої
є інтегральною сумою при певному виборі
поділу
і застосувавши формулу Ньютона–Лейбніца
(1).
.
.
.
.
.
Знайти середнє
значення функції
на
(див. В3).
|
|
|
|
Використовуючи теорему про середнє (В3), оцінити інтеграли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосувавши формулу Ньютона–Лейбніца, обчислити наступні інтеграли
|
|
|
|
||
|
|
|
Приклад 7.
Обчислити інтеграли а)
;
б)
;
в)
.
■ а) Застосуємо
заміну змінної (універсальна підстановка)
,
можливість якої справедлива оскільки
функція
монотонна на проміжку інтегрування.
Тоді
,
,
.
|
0 |
|
|
0 |
1 |
Отже
.
■
■ б)
Вираз
є диференціальним біномом:
.
Заміна
раціоналізує невизначений інтеграл.
Отримуємо
і
.
Поміняємо границі інтегрування:
,
тоді
,
при
,
.
Зауважимо, що функція
монотонна при
.
Таким чином
.■
■ в) Проінтегруємо частинами:
. Тоді
.
Обчислимо
,
інтегруючи частинами:
,
тоді
.
Отже,
або
.
Отримуємо
.■
Завдання 4
Обчислити наступні інтеграли, використовуючи заміну змінної
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислити інтеграли, використовуючи інтегрування частинами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Використовуючи В5 визначеного інтеграла, обчислити
|
|
|
|
|
|
|
|
Довести наступні рівності
|
|
|