Алгоритм нахождения ранга матрицы.
Пусть требуется
вычислить ранг матрицы
размеров
.
Если матрица
нулевая,
то по определению
.
В противном случае с помощью перестановки
строк и столбцов матрицы добиваемся
того, чтобы в левом верхнем углу матрицы
стоял ненулевой элемент. Итак, считаем,
что
.
Первую строку
оставляем без изменений. Ко второй
строке прибавляем первую, умноженную
на число
.
В результате вторая строка принимает
вид
Затем к третьей
строке прибавляем первую строку,
умноженную на число
.
В результате третья строка принимает
вид
Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.
Преобразованная матрица имеет вид
Если все строки,
начиная со второй, в полученной матрице
нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть
минор первого порядка, отличный от нуля
.
В противном случае перестановкой строк
и столбцов матрицы с номерами, большими
единицы, добиваемся, чтобы второй элемент
второй строки был отличен от нуля. Итак,
считаем, что
.
Первую и вторую
строки оставляем без изменений. К третьей
строке прибавляем вторую, умноженную
на число
.
В результате получим, что второй элемент
третьей строки равен нулю. Затем к
четвертой строке прибавляем вторую,
умноженную на число
,
и т.д. В результате получаем матрицу
Если все строки,
начиная с третьей, нулевые, то
,
так как минор
.
В противном случае перестановкой строк
и столбцов с номерами, большими двух,
добиваемся, чтобы третий элемент третьей
строки был отличен от нуля. Далее,
добавлением третьей строки, умноженной
на соответствующие числа, к строкам с
большими номерами получаем нули в
третьем столбце, начиная с четвертого
элемента, и т.д.
На каком-то этапе
мы придем к матрице, у которой все строки,
начиная с
-ой
, равны нулю (или отсутствуют при
),
а минор в первых
строках
и первых
столбцах
является определителем треугольной
матрицы с ненулевыми элементами на
диагонали. Ранг такой матрицы равен
.
Следовательно,
.
Замечание 14.15 В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.
Замечание 14.16 Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.
Пример 14.12
Найдите ранг матрицы
.
Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:
Первую строку
умножим на
и
прибавим ко второй. Получим строку
.
Первую строку умножим на
и
прибавим к третьей. Получим строку
.
Первую строку умножим на
и
прибавим к четвертой. Получим строку
.
В итоге имеем матрицу
Вторую строку
оставляем без изменений. К третьей
строке прибавляем вторую, умноженную
на 2. Получим строку
.
К четвертой строке прибавляем вторую.
Получим нулевую строку. Преобразованная
матрица имеет вид
Поменяем местами третий и четвертый столбцы:
Базисный минор
матрицы
стоит
в первых трех столбцах и первых трех
строках,
.
Следовательно,
.
Замечание 14.17 В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.
