- Розмір вибірки.

Наприклад

x	U		X впорядковане	Rg(x)	U впорядковане	Rg(u)
X1=10	U1=5		X4=2	1	U3=4	1
X2=4	U2=6		X2=4	2	U1=5	2
X3=5	U3=4		X3=5	3	U2=6	3
X4=2	U4=8		X1=10	4	U4=8	4

d₁= Rg(x₁)- Rg(u₁)=4-2=2

d₂= Rg(x₂)- Rg(u₂)=2-3=-1

d₃= Rg(x₃)- Rg(u₃)=3-1=2

d₄= Rg(x₄)- Rg(u₄)=1-4=-3

3. Перевіряємо гіпотезу

(2)

то відхиляється і гетероскедаст. присутня

то приймається і гетероскедаст. відсутня.

Тест Парка

(3)

(4)

Алгоритм тесту Парка

1. Будуємо модель регресії

2. Знаходимо залишки моделі та логарифми від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

(5)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики:

гетероскедастичність присутня

гетероскедастичність відсутня

Тест Глейзера

1. Будуємо модель регресії

2. Знаходимо залишки моделі та модулі від них:

3. Для кожного з х_k будуємо регресійну модель

(6)

4. Перевіряємо гіпотезу про статистичну значимість коефіцієнта моделі (5) на основі t – статистики (див. тест Парка).

Тест Гольдфельда-Квандта

(7)

1. Впорядковуємо вибірку по зростанню величини х_і.

2. Впорядкована вибірка розбивається на 3 частини розміром

k, m-2k, k відповідно. k>n.

3. Для 1-ї та 3-ї підвиборок будуються регресійні моделі та знаходяться оцінки дисперсій залишків:

(8)

4.

(9)

­ гіпотеза відкидається, тобто гетероскедастичність присутня;

­ гіпотеза приймається, тобто гетероскедастичність відсутня;

Парна регресія:

m=30, k=11 ; m=60, k=22

Якщо

То

6.4. Методи оцінювання параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

Метод зважених найменших квадратів при відомих

(10)

(11)

(12)

Етапи ЗМНК

1. ділимо на наперед відому дисперсію .

2. Для значень за МНК будується модель лінійної регресії (12) без коефіцієнта (тобто без стовпчика одиниць в матриці ) з гарантованими якостями оцінок.

Модель з невідомими дисперсіями відхилень

1. Дисперсії пропорційні , тобто .

або

(13)

Множинна регресія: замість використовують .

2. Дисперсії пропорційні , тобто .

або

(14)

Лекція 5. Автокореляція залишків.

5.1. Моделі з порушенням передумов використання МНК: автокореляція залишків.

5.2. Суть та наслідки Автокореляції залишкsв.

5.3. Методи виявлення автокореляції залишків в моделі.

5.4. Методи знаходження оцінок параметрів моделі з автокорельованими залишками.

5.2. Суть та наслідки Автокореляції залишками.

Суть

,

(1)

(2)

Автокореляція додатна:

Автокореляція від’ємна:

Автокореляція виникає коли :

але .

Наслідки автокореляції

1. оцінки коефіцієнтів регресії незміщені, але й неефективні.

2. Дисперсії оцінок коефіцієнтів регресії зміщені та занижені.

3. Оцінка дисперсії залишків є зміщеною.

4. Висновки згідно T та F статистик невірні.

- автокореляція додатня.

5.3. Методи виявлення автокореляції залишків в моделі.

Метод Дарбіна-Уотсона

(3)

, (4)

1. тобто і автокореляція відсутня.

2. тобто існує додатня автокореляція.

3. тобто існує від’ємна автокореляція.

Алгоритм Дарбіна-Уотсона

1. Будуємо емпіричну модель

І визначаємо .

2. Обчислюємо за формулою (3) статистику .

3. За таблицею критичних точок Дарбіна-Уотсона визначаємо:

Нижня границя ,

Верхня границя ,

- розмір вибірки, - рівень статистичної значимості;

4. Висновки:

1) - існує додатня автокореляція;

2) - висновок невідомий;

3) - автокореляція відсутня;

4) - висн. невідомий;

5) - існує від’ємна автокореляція;

Умови використання критерію Дарбіна-Уотсона

1. Економетрична модель має містити коеф. .

2. Залежність між залишками така:

(5)

- коефіцієнт, - випадкова величина.

3. Однакова періодичність статистичних даних.

4. Відсутність лагових змінних в економетричній моделі з лагом у одиницю, тобто:

.