1.6. Главные площадки, главные напряжения и главные оси тензора напряжений

Главной площадкой называется площадка, на которой отсутствуют касательные напряжения, то есть на этой площадке действуют только нормальные напряжения. Главной осью тензора напряжений называется нормаль к главной площадке. Главным напряжением называют нормальное напряжение на главной площадке [4].

Необходимо по заданному тензору напряжений

найти главные площадки, то есть найти направляющие косинусы , , . Это косинусы углов, образованных нормалями к площадкам и осями координат x, y, z. Необходимо также определить главные напряжения .

Для определения учтем, что касательное напряжение на главной площадке . Полный вектор напряжений . Тогда полное напряжение и . Последнее выражение в проекциях на оси координат [11]:

. (1.15)

Проекции вектора на оси координат можно выразить через модуль вектора (длину) и направляющие косинусы

.

Значения можно найти по формулам Коши для расчета напряжений на наклонной площадке (главные площадки наклонены по отношению к координатным плоскостям). Тогда из (1.15) получим:

.

Последнее выражение можно записать так:

. (1.16)

Четвертое уравнение в системе (1.16) записано из условия: сумма квадратов направляющих косинусов вектора единичной длины (нормали к главной площадке) равна единице.

Первые три уравнения в системе (1.16) линейные и однородные относительно переменных , , . Система таких уравнений имеет нетривиальное ( ) решение, если ее определитель равен нулю:

. (1.17)

Раскрыв определитель (2.17), можно определить :

Раскроем скобки в последнем выражении, приведем подобные члены, выполним группировки и введем новые обозначения. В результате получим кубическое уравнение относительно неизвестных :

, (1.18)

где

;

.

Уравнение (1.18) называют характеристическим многочленом. Уравнение имеет 3 действительных корня, которые являются главными нормальными напряжениями. Будем их обозначать , , . Здесь и далее индексами 1, 2, 3 будем обозначать главные значения рассматриваемых характеристик напряженно – деформированного состояния. Индексы назначают по правилу .

Главных напряжений оказалось 3. Они действуют на 3-х главных взаимно ортогональных площадках. Их положение определяется косинусами углов, образованных нормалями к площадкам (главными осями 1, 2, 3) и осями координат (рис. 1.6).

Чтобы найти направляющие косинусы нормали для первой площадки ( , , ) надо вместо в (1.16) подставлять . При решении (1.16) необходимо использовать любые два уравнения из первых трех и четвертое

Рис. 1.6. Оси координат x, y, z и главные оси тензора 1, 2, 3

уравнение, связывающее направляющие косинусы. Для определения в (1.16) вместо подставляем . Для определения в (1.16) вместо подставляем .

Если оси координат выбрать так, что они совпадают с главными осями 1, 2, 3, то есть с направлением главных нормальных напряжений, то тензор примет вид:

.

На выбранных таким образом координатных плоскостях действуют только нормальные напряжения.

Пример. Найти главные напряжения и положение главных площадок для заданного тензора напряжений (компоненты заданы в МПа):

.

Коэффициенты для рассматриваемого примера:

, , .

Кубическое уравнение (1.18) примет вид:

→ → МПа; ; МПа.

Определим положение главных площадок. В систему уравнений (1.16) подставим вместо напряжение (используем 1-ое, 3-е и 4-ое уравнения):

. (1.18)

Из первого уравнения системы (1.18): .

Из второго уравнения системы (1.18): .

Подставим найденные значения в четвертое уравнение:

; → ; → ;

; ; .

В систему уравнений (1.16) вместо подставим :

→ ; ; .

Направляющие косинусы находятся аналогично.