1.3. Напряжения на наклонной площадке (формула Коши)

Пусть задан тензор напряжений , то есть все его компоненты . Задано также положение в пространстве наклонной площадки ABC направляющими косинусами . Это косинусы углов между нормалью к площадке и осями координат: ; ; (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Напряжения на координатных плоскостях и наклонной площадке

Необходимо получить формулы для расчета напряжения , действующего на наклонной площадке АВС, через компоненты тензора напряжений , которые действую на координатных плоскостях. Напряжение можно выразить через проекции , , . Определим формулы, связывающие (i = x, y, z) с .

Проекции можно определить из условия равновесия тетраэдра, образованного наклонной площадкой АВС и координатными плоскостями xoy, xoz и yoz. На рис. 1.3 напряжения направлены в противоположные стороны от действия для того, чтобы указать, что тетраэдр находится в равновесии.

Когда тело находится в равновесии, то сумма проекций (на оси координат x, y, z) всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю:

.

Спроецируем все силы на ось х и приравняем их нулю. Чтобы найти силу нужно напряжение умножить на площадь. Введем обозначения: dS – площадь наклонной грани тетраэдра MABC, то есть площадь треугольника ABC; ,

, - площади координатных площадок COB, AOC, AOB; – сила, приложенная к наклонной грани; – проекция этой силы на ось х. Тогда можно записать:

.

Из этого выражения следует первая формула в приведенной ниже системе:

. (1.1)

Вторая и третья формулы выводятся аналогично из рассмотрения суммы проекций сил соответственно на оси y и z.

С использованием тензорных индексов i и j формулы (1.1) коротко можно записать следующим образом:

. (1.2)

Формулы (1.1) и (1.2) для расчета напряжений на наклонной площадке называют также формулами Коши [5].

В формулах вида (1.2) с тензорными (немыми) индексами i и j если есть произведение и повторяющийся (одинаковый) индекс слева и справа от произведения, то при подробной записи вида (1.1) проводится суммирование по повторяющемуся индексу.

Из формул (1.1) и (1.2) следует важный вывод: пусть задан тензор напряжений, который представляет собой компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных координатных площадках, проходящим через данную точку деформируемого тела. Тогда можно рассчитать напряжения на любой площадке, наклонной к координатным плоскостям и заданной направляющими косинусами . Таким образом, тензор полностью описывает напряженное состояние в точке деформированного тела.

Уравнения (1.1) и (1.2) дают проекции вектора напряжений. Найдем модуль напряжения (приведены разные виды записи формулы)

, (1.3)

, (i = x, y, z), (1.4)

, (i = x, y, z; j= x, y, z). (1.5)

Для определения нормального напряжения на наклонной площадке нужно спроецировать на нормаль . Для этого на нужно отдельно спроецировать , , и сложить (приведены разные виды записи формулы):

, (1.6)

, (1.7)

. (1.8)

Полное касательное напряжение :

. (1.9)

Пример. Задан тензор напряжений (компоненты заданы в МПа) и направляющие косинусы:

; ; ; .

Необходимо определить , , , . Для этого последовательно воспользуемся формулами (1.1), (1.3), (1.6) и (1.9):

МПа; МПа; МПа;

МПа; МПа; .