2.3. Главные оси тензора деформаций. Главные деформации

Оси координат в данной точке можно направить разным образом. В частности можно определить такую тройку взаимно ортогональных волокон, которые при заданном тензоре в процессе деформации будут оставаться взаимно ортогональными. То есть сдвиговой деформации не будет. Такие оси будем называть главными, а их деформацию называют главными линейными деформациями. Площадки, на которых нет сдвига, называются главными.

Из условия, что на главных площадках отсутствуют сдвиги можно зависать систему линейных уравнений (по аналогии с напряженным состоянием) [11]:

. (2.1)

Здесь - главная линейная деформация. Верхние три уравнения из системы (2.1) можно решить относительно направляющих косинусов . Эта система из трех уравнений имеет нетривиальное решение если:

. (2.2)

При записи (2.2) учли симметричность , то есть .

Если раскрыть (2.2), то получим кубическое уравнение, называемое характеристическим многочленом:

. (2.3)

В этом уравнении ; ; - инварианты :

.

;

.

Здесь - главные линейные деформации, определяемые из решения (2.3).

Чтобы найти ориентировку волокон (главных осей 1, 2, 3 тензора ) с деформациями , , необходимо эти деформации поочередно подставить вместо в систему (2.1): 1) для определения подставляем вместо значение ; 2) для определения подставляем вместо значение ; 3) для определения подставляем вместо значение .

3.4. Шаровой тензор и девиатор деформаций

Тензор деформаций можно разложить на два тензора:

,

где - шаровой тензор; - девиатор тензора деформаций;

;

.

характеризует изменение объема частицы в данной точке, то есть всестороннее растяжение или сжатие. характеризует изменение формы в данной точке. - относительное изменение объема частицы;

.

Покажем, что соответствует изменению объема.

Рассмотрим деформацию материальной частицы в виде кубика (рис. 2.5).

а) б)

Рис. 2.5. Частица до (а) и после (б) деформации

В результате деформации ребра получили линейные деформации и их длина изменилась. Определим относительное изменение объема в результате деформации:

- относительное изменение объема;

- до деформации;

- после деформации;

.

Так как деформации малые, то произведениями малых величин можно пренебречь:

.

Тогда

2.5. Связь между перемещениями и малыми деформациями (геометрические уравнения)

На рис. 2.6 показано положение материальной точки до (А₀) и после (А₁) деформации.

Рис. 2.6. Положение точки до (А₀) и после (А₁) деформации:

- вектор, определяющий положение точки до деформации;

- вектор, определяющий положение точки после деформации

Перемещение - это разность между векторами и :

.

Запишем вектор перемещения в проекциях на оси координат , , : , ; , где - координаты после деформации, - координаты до деформации (рис. 3.3). Значения , , называют также компонентами вектора перемещений.

Если перемещения различных точек тела неодинаковы, то тело деформируется, то есть меняет свою форму и размеры. На рис. 2.7 показан плоский элемент до (A₀B₀C₀D₀) и после (A₁B₁C₁D₁) деформации.

Рис. 2.7. Деформация плоского элемента

Рассмотрим деформацию отрезка [5]. В результате деформации отрезок изменит длину и ориентацию. Относительная линейная деформация:

Точки А и D расположены на малом расстоянии друг от друга. Разложим перемещения в ряд Тейлора:

.

Подставим это в (2.4):

; ; . (2.5)

Вторую и третью формулы в (2.5) можно получить аналогично первой.

Рассмотрим сдвиговую деформацию . Из рис. 2.7 следует:

; (2.6)

→ .

Перемещения точек А и D будут отличаться на малую величину, так как они находятся близко друг от друга:

.

Подставим это выражение в (2.6) и учтем, что ; (рассматриваем малые деформации). Получим .

По аналогии можно определить . Таким образом

(2.7)

В других обозначениях:

. (2.8)

Выражения (2.5) и (2.5) называются геометрическими уравнениями. С использованием тензорных символов их коротко можно записать так:

. (2.9)