2. Теория деформаций
2.1. Определение линейной и сдвиговой деформации. Различные меры линейной деформации
Деформация – это изменение размеров тела. Если под действием сил произошло изменение хотя бы одного размера, то произошла деформация.
Если в деформируемом
теле имеется материальное волокно до
деформации длиной
,
то после деформации оно будет иметь
длину
(рис. 2.1).
а) б)
Рис. 2.1. Материальное волокно до (а) и после (б) деформации
Абсолютная
линейная деформация – это величина,
определяемая по формуле:
.
Линейная деформация характеризует только изменение размера одного волокна и не описывает изменение положения волокна.
В качестве меры линейной деформации используют относительную деформацию:
1)
;
2)
;
3)
,
где
и
-
относительная деформация;
- истинная или логарифмическая
деформация.
Связь между различными мерами деформации:
;
;
;
.
Для малых деформаций (меньших 0,1) безразлично, какой выбирается мера.
Логарифмическая мера деформации обладает свойством аддитивности [5]. То есть если деформацию разбить на этапы, то деформацию на этапах можно складывать:
.
Для других мер деформации:
.
Покажем это,
рассмотрев три этапа деформации
материального волокна, с исходной длиной
:
.
Мера – логарифмическая деформация (или истинная):
;
;
;
.
.
Мера – относительная деформация:
;
;
;
;
.
Сдвиговая деформация (деформация сдвига) характеризует изменение положения двух пересекающихся волокон. Пусть два волокна до деформации взаимно перпендикулярны, а после деформации угол стал тупым (рис. 2.2).
Мера сдвиговой
деформации – изменение угла между
волокнами (угол
на рис. 2.2).
Рис. 2.2. Сдвиговая деформация
2.2. Деформированное состояние точки. Тензор малых деформаций
Деформированное состояние в точке характеризуется линейными деформациями всех волокон и сдвигами во всех плоскостях, проходящих через данную точку.
Для задания деформированного состояния в точке достаточно задать линейную деформацию трех волокон и сдвиги в трех плоскостях, проходящих через данную точку.
Для удобства выберем линейные деформации трех волокон, совпадающих с координатными осями x, y, z и сдвиги в трех координатных плоскостях xoy, xoz и yoz (рис. 2.3).
а)
б) в)
Рис. 2.3. Принятая система координат (а) и схема деформирования материальной частицы (б и в – частица соответственно до и после деформации)
Показанная на рис.
2.3 частица деформируется таким образом,
что углы между ребрами не изменяются,
а изменяются только длины ребер. В этом
случае линейные деформации
,
,
можно
рассчитать по формулам
,
,
,
а сдвиговые
деформации будут равны нулю. Отметим,
что условие сохранения объема частицы
выражается равенством
.
Сдвиги
будем обозначать двумя индексами,
указывающими в какую координатную
плоскость проецируется искаженный
деформацией угол. На рис. 2.4 показаны
волокна до (ac и ab)
после (
и
)
деформации. В этом случае сдвиговая
деформация рассчитывается по формуле
,
где
и
- углы в радианах.
а) б)
Рис. 2.4. Положение волокон до (а) и после деформации (б)
При определении
деформации безразлично какими будут
относительные значения углов
и
,
лишь бы их сумма была
.
Это дает возможность каждую компоненту
сдвиговой деформации представить в
виде суммы двух углов и рассматривать
половины значений
.
Таким образом, будем брать
,
,
.
Индексация
будет
совпадать с индексацией касательных
напряжений
.
Деформированное состояние в точке характеризует таблица:
,
называемая тензором малых деформаций. Другое обозначение:
.