8. Последовательности точек пространства .

-расст. м/д x и y. Опр1.Пусть х€Rⁿ , ε>0. Совокупность всех таких точек у€Rⁿ , что ρ(х,у)< ε наз. n-мерным открытым шаром, радиуса ε, с центром в точке х или ε -окрестностью(сферической или шаровой) в т. х пр-ва Rⁿ и обознач-ся U(x, ε).

Опр2. Мн-во P(x,δ₁,…, δ_n )={y=( y_{1 ,} y₂ ,…, y_n): |x_i –y_i |<δ_i i=1,2,…n} наз. прямоугольной окр-стью т.х.

В частности, если δ₁ =δ₂ =…=δ_n =δ , то мн-во Р(х, δ)=def= P(x,δ,…, δ ) наз. кубической окрестностью т.х.

Очевидно, что если δ₀ =min (δ₁,…, δ_n ), a δ =max (δ₁,…, δ_n ), то P(x,δ₀) P(x,δ₁,…, δ_n ) P(x,δ).

Лемма. Любая сферич. окр-сть т-ки пр-ва Rⁿ содержит прямоуг. окр-сть и содержится в прямоуг. окр-сти этой точки.И наоборот, любая прямоуг. окр-сть т-ки содержит сферич. окр-сть и содержится в сферич.

Если из некот. членов посл-ти { x⁽ⁿ⁾} сост. новая посл-ть {x^(mk) },в кот. порядок следования её членов совпадает с порядком след-ния их в исх. посл-ти, то посл-ть {x^(mk) } наз. подпоследовательностью п-сти {x⁽ⁿ⁾}.

Опр3. х€Rⁿ наз. пределом посл-ти x^(m) €Rⁿ , если . В этом случае пишут : и говорят, что посл-ть {x^(m)} сходится в т. х. Посл-ть, которая сходится к нек-ой т-ке наз. сходящ-ся.

Теорема1. Для того чтобы посл-ть x^(m) = (x₁^(m) , x₂^(m) ,…, x_n^(m) ) имела своим пределом т.х=(x₁ , x₂ ,…, x_n ) необх. и дост. чтобы lim_m→∞ x_i^(m) = x_i , i=1,2…n.

Док-во: Это утвержд. сразу след. из нер-ва

Из т1 след., что если послед имеет предел, то он единственный.

Всякая подпосл. сход-ся к тому же пределу, что и исх. послед.

Опр4. Послед. {x^(m)}, x^(m) €R называется фундамент-ой, если ε>0 m₀€N такой, что m>m₀ и p€N выполн. . Следов, чтобы послед. была сход., необх. и дост. чтобы она была фундамент.(Критерий Коши)

Опр5. Мн-во в n-мерном пр-ве наз. ограниченным, если оно сод-ся в некотором n-мерном кубе.

Опр6. Послед. точек пр-ва Rⁿ назыв. огран., если мн-во их значений ограничено.

Теорема2. Из любой огран. посл-ти точек n-мерного пр-ва можно выделить сход-ся подпосл-ти.

Опр7. ε-окр-стью бескон. удалённой т-ки, т.е. U(∞, ε), наз. мн-во сост. из всех таких точек х, что ρ(х,0)> 1/ ε и беск. удал. т-ки.

Опр8. Посл-ть {x^(m)} наз. посл-стью стремящейся к ∞, если lim_m→∞ ρ(x^(m) ,0)=+∞.

9. Предел отображения.

Будем рассматривать отображение f : X — R^m, где X € Rⁿ. Возможны случаи: Если m = п =1, то f — функция одной переменной; Если m = 1,п > 1, то f — функция многих переменных; Если m > 1 , п = 1 , то f — вектор функция;

Если m > 1 , п > 1 , то f — отображение

Запись y = f (x) — подразумевает, x = (x₁ , x₂, . . . , x_n), y = (y₁ , y₂, . . . , y_m), f = (f₁ , f₂, . . . , f_m). Отметим, что функции y_i = f_i(x), i = 1,m от п переменных называют координатными функциями отображения f. Расстояния в метрических пространствах Rⁿ и R^m, будем обозначать соответственно: p_n(x, a) = p_m(y,b) =

где x, a €Rⁿ, y, b €R^m.

Отображение f : X — R^m, где X € Rⁿ называется ограниченным на X, если f (X) € R^m ограниченно в R^m. Пусть f : X — R^m, где X € Rⁿ, a — предельная точка множества X.

Определение 1. Точка b €R^m называется пределом отображения f в точке a, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любого x € X и 0 < p_n(x,a) < следует, что p_m (f (x), b| < . При этом пишут lim f (x) = b.(x→a).

Определение 2. Точка b € R^m называется пределом отображения f в точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a) такая, что если x €V(a) ∩X, то f (x) €U(b).

Определение 3. Точка b G R^m называется пределом отображения f в точке a, если для любой последовательности x^(k) € X\{a}, k = 1, 2,... сходящейся к точке a, последовательность {f (x^(k))} сходится к точке b.

Эквивалентность определений 1 и 2 доказывается аналогично случаю функции одной переменной.

Теорема 3. Точка b = (b₁, .. ., b_m) является пределом отображения f : X — R^m, X € Rⁿ при x → a тогда и только тогда, когда lim f_i(x) = b_i, i = 1,m.(x—>a)

Теорема 4. Отображение f : X →R^m, X С Rⁿ имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда

> 0 V(a) : х', x" € V(a)→ p_m (f(x¹), f (x")) < .

Теорема 5. Если отображение f : X — R^m, где X € Rⁿ имеет предел в точке a, то:

1. предел единственный;

2. отображение f ограниченно в некоторой проколотой окрестности V(a) точки a в множестве X.

Теорема 6. Пусть f : X → R^m, g : X → R^m, где X € Rⁿ, и существуют пределы lim f (x) = b(x→a), lim g(x) = c(x→a). Тогда существуют пределы:

1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c; (x→a)

2) lim f(x) . g(x) = b . c, (x→a)

где f ± g, b ± c — есть сумма и разность векторов; f • g, b • c — скалярное произведение векторов.

Теорема 7. Пусть f : X — R, g : X — R, X € Rⁿ, и существуют пределы lim f(x) = A(x→a), lim g(x) = B. (x→a) Тогда существуют пределы:

1) lim( f (x) ± g(x)) = A ± B,

x— a

2) lim f(x)g(x) = A • B,

x— a

3) если g(x) ≠ 0, x € V(a) и B ≠ 0, то .

Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений f и g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± g и f • g.

Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функ­ций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.