![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
29. Достаточные условия зависимости функций.
Теорема 15. Пусть все миноры s + 1 порядка матрицы Якоби (10.35) системы функций
yi = fi(x), x € G, i = 1, m.(10.33) равны 0 в каждой точке открытого множества G и хотя бы один из миноров порядка s (s < m <= n) не равен 0 в некоторой точке a €G, тогда функции, содержащиеся в этом миноре независимы на множестве G, и существует некоторая окрестность точки a такая, что остальные m—s функций системы (10.33) зависят на этой окрестности от s указанных функций.
Доказательство.
Не
нарушая общности рассуждений, можем
считать, что неравный нулю в точке a
минор
s-го
порядка расположен в левом верхнем углу
матрицы (10.35). Следовательно
(10.36)
в
точке a.
В силу теоремы о неявной функции и
условия (10.36) из первых уравнений системы
(10.33) найдем
x1=
1(
)
xs=
s(
),
где
i
=
1, s
непрерывно
дифференцируемые функции в некоторой
окрестности U
точки
(b1,...
,bs,
as+1,...,
an),
Ьi
=
fi(a),
i
=
1, s.
Подставим xi,
i
=
1, s
в
последние m
—
s
уравнений
(10.33). Поскольку имеет место условие
(10.36), то из следствия 2 следует, что
функции yi
=
fi(x),
i
=
1, s
независимы
на множестве G.
Покажем, что остальные m
— s
функций
системы (10.33) зависят от указанных s
функций
в окрестности U.
Для этого достаточно убедиться в том,
что непрерывно дифференцируемые функции
Fl
(l
>
s)
не
зависят от переменных xs+1,...,
xn.
Следовательно
В
итоге
= 0, k=s+1,n
30. Понятие
условного экстремума.
Пусть на
множестве
заданы m+1
ф-ции
и пусть
есть подмножество мн-ва X,на
котором последние точки ф-ции обращаются
в ноль;уравнения
-
называются уравнениями связи.
Опред1.точка
называется точкой условного или
относительного экстремума ф-ции
при выполнении условий связи (1),если
она является точкой обычного экстремума
ф-ции
на множестве
.Пусть
ф-ции
непрерывно
диффириенцируемы в окрестности точки
,а
градиенты
линейно независимы в точке
или ранг матрицы Якоби
(2)
равен m,где
,что
равносильно существованию в ней минора
порядка m
неравного нулю.Для определенности
возьмем
и
,тогда
по теореме о неявных ф-циях система(1)
в некоторой точке
равносильно заданию m-функций
(3)
,в некот. окрестности т.
определим
ф-цию
,где
,как
результат подстановки выражения (3) в
функцию
.
Функция
определена в нек. окрестности т.
,
при этом какова бы ни была т.
из
этой окрестности, точка
удовлетв. уравн. (1)
Введу
равносильности условий (1) и (3) т.x(0)
явл. точкой
условного экстремума для ф-ции
,при
выполнении условия связи тогда и толька
тогда,когда точка
явл.точкой обычного экстремума для
ф-ции
.
Трудность данного метода состоит в том, что решение системы уравнений(1) в большинстве случаев не выражается через элементарную функцию.
31. Метод множителей Лагранжа.
Теорема1.Пусть
ф-ции
непрерывно дифириенцируемы в окрестности
точки
,если
точка
явл. точкой условного экстремума ф-ции
относительно уравнения связи
(1),то
в этой точке градиенты
линейно
зависимы, т.е. существуют такие числа
одновременно неравные нулю, что
.
Следствие:если
в точке
условного экстремума
относительно
связи (1) градиенты
независимы,то сущ. такие числа
,что
или в координатной форме
.Ф-ция
,называется
ф-цией Лагранжа,а коофициенты
,
называются множителями Лагранжа.Условие
(3) означает,что точка
явл. критической точкой для ф-ций
Лагранжа;т.о.
это условие явл. необходимым условием
чтобы эта точка была точкой указанного
экстремума. Замечание:сущ.
ли в точке
удовлетворяющей ур. связи(1) и ур. (3)
условный экстремум,можно выяснить
исследовав второй дифириенциал ф-ции
в точке
,если
он при выполнении соотношений между
дифиринциалами
,
вытекающими из уравн. связи (1) является
положительно(отрицательно) определенной
квадратичной формы, то т.
явл. точкой условного максимума(минимума).