6.4. Стохастические модели управления запасами

Предположим, что спрос за интервал времени является случайным и задан его закон распределения или плотность вероятностей (обычно функции и оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос ниже уровня запаса , то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат на единицу продукта; наоборот, если спрос выше уровня запаса , то это приводит к штрафу за дефицит на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе , имеющем закон распределения , математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

. (6.14)

В выражении (6.14) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка единиц продукта (при ), а второе слагаемое – штраф за дефицит на единиц продукта (при ).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей , выражение принимает вид:

. (6.15)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса , при котором математическое ожидание суммарных затрат (6.14) или (6.15) принимает минимальное значение.

Можно доказать, что при дискретном случайном спросе выражение (6.14) минимально при запасе , удовлетворяющем неравенствам

, (6.16)

а при непрерывном случайном спросе выражение (6.15) минимально при значении , определяемом из уравнения

, (6.17)

где

есть функция распределения спроса , и – ее значения; плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по формуле (6.12).