6.2. Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций и . Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени продолжительности равно . Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. . Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

. (6.3)

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция не является непрерывной: при всех , кроме моментов поставки продукта, когда , где объем партии. Так как интенсивность расхода равна , то вся партия будет использована за время

. (6.4)

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е. . Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис 6.1.

Рисунок 6.1 – Уровень запаса в зависимости от времени

На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой от значения до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения повторяется на каждом временном интервале продолжительностью (рис.6.1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии , при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными, т.е.

, (6.5)

где затраты на создание запаса,

затраты на хранение запаса.

Найдем величины за весь промежуток времени .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны , а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени - . Так как за время необходимо запастись единицами продукта, который доставляется партиями объема , то число таких партий равно:

.

Тогда затраты на создание запаса составят:

,

а затраты на хранение запаса

.

Таким образом, целевая функция (6.5) примет вид

.

Для этой задачи Уилсоном была найдена формула наиболее экономичного объема партии

. (6.6)

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

.

Число оптимальных партий за время

.

Время расхода оптимальной партии равно

. (6.7)

6.3. Статическая детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при спрос сохраняется с той же интенсивностью , но потребление запаса отсутствует - , вследствие чего накапливается дефицит со скоростью . График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 6.2. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 6.1 характеризует накопление дефицита.

Рисунок 6.2 – Изменение уровня запаса с учетом дефицита

Из рис. 6.2 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т.е. , где время, в течение которого производится потребление запаса, время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет ликвидирован в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса в момент поступления каждой партии теперь не равен объему партии , а меньше его на величину дефицита , накопившегося за время (рис. 6.2).

Легко установить, что

.

В данной модели в функцию суммарных затрат наряду с затратами (на пополнение запаса) и (на хранение запаса) необходимо ввести затраты штраф из-за дефицита, т.е

. (6.8)

Затраты , как и ранее, составляют величину

.

Затраты равны затратам на хранение среднего запаса

.

А затраты определяются следующим образом

,

где штраф за дефицит в единицу времени на каждую единицу продукта.

Таким образом, целевая функция (6.8) примет вид

. (6.9)

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии и максимального уровня запаса , при которых функция (6.9) принимает минимальное значение.

В результате решения задачи можно получить формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня запаса для модели с дефицитом:

, (6.10)

, (6.11)

где плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса и определяется по формуле

. (6.12)

Из сравнения формул (6.6) и (6.10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

, (6.13)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше ( ), чем в задаче без дефицита.