Г л а в а 3.Течение вязкой жидкости в прямом плоском канале § 1.Основные соотношения

Для описания движения вязкой жидкости в качестве базовых уравнений используются уравнения Навье–Стокса, которые в векторной форме имеют вид [8]

, (3.1)

. (3.2)

Здесь: — вектор скорости, — вектор массовой силы, отнесенной к единице массы, ρ — плотность, p — давление, —коэффициент кинематической вязкости (μ — коэффициент динамической вязкости вязкости). В отсутствие массовых сил и при = const уравнения (3.1) и (3.2) записываются в виде

, (3.2)

div . (3.3)

Картина изучаемого течения в установившемся режиме показана на рис. 3.1. Движение вязкой жидкости между двумя плоскостями y = ± h можно представить как предельный случай течения в канале прямоугольного сечения при условии, если одну сторону прямоугольника принять равной 2h, а другую устремить к бесконечности. В этом смысле рассматриваемое течение может быть названо течением в «плоской трубе». Для рассматриваемой модели от нуля отлична только компонента вектора скорости вдоль оси x, которую будем обозначать u.

Для стационарного случая и при μ = const из (3.2) и (3.3) получим [4]

, (3.4а)

, (3.4б)

, (3.4в)

. (3.4г)

Из последнего уравнения следует, что скорость потока в канале зависит только от y и z, а из уравнений (3.4а) и (3.4б), что давление зависит только от x. Удобно ввести обозначение

, (3.5)

где — постоянный вдоль оси х перепад давления на произвольно выбранном участке длиной l. Очевидно, что задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

. (3.6)

Если в качестве граничных условий рассматривать условие прилипания на стенках канала: u = 0 при y = ± h, то решение (3.6) принимает следующий вид:

. (3.7)

Таким образом, в стационарном случае поперечный профиль скорости вдоль оси канала описывается параболой, при этом максимальное значение скорости равно

. (3.8)

Важной характеристикой рассматриваемого течения является секундный объемный расход Q, отнесенный к единице длины в направлении оси z, перпендикулярном к плоскости (x, y):

. (3.9)

Из (3.9.) можно определить среднюю по сечению скорость:

. (3.10)

Рис. 2.1. Установившееся ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости между параллельными плоскостями

Следует подчеркнуть важное следствие приведенных теоретических формул: при заданном перепаде давления на участке плоского канала выбранной длины расход пропорционален кубу расстояний между плоскостями, т. е. резко падает с уменьшением этого расстояния и, наоборот, резко возрастает с его увеличением. Если задаться необходимым расходом, то необходимый для его обеспечения перепад давлений, приводящий жидкость в движение, будет меняться обратно пропорционально кубу ширины щели между плоскостями. При переходе к трубе круглого сечения расход пропорционален четвертой степени диаметра трубы [4].