20 ГиА. Квадратичные формы и их свойства. Приведение квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа). Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Пусть А (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве L. Квадратичной формой называется числовая функция А(х,х) одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы А (х, у) при х = у.

Квадратичная форма А (х, х) называется:

1) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого х выполняется неравенство А (х, х) > 0 (А (х, х) < 0)

(такие формы называются также знакоопределейными)

2)знакопеременной, если существуют такие х и у, что А(х, х) >0, А (у, у) <0;

3) квазизнакоопределенной, если для всех х А (х, х) > 0 или А (х, х) < 0, но имеется отличный от нуля вектор х, для которого А(х, х) = 0.

Если А (х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А (х, х), то А (х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве.

1°) А(х, у) = А(у,х).

2°) А(х + z, у) = А(х, у) + A(z, у).

3°) А (λ х, у) = λ А(х, у).

4°) A(x,x) 0 и A(х, х) > 0 при х 0.

Так как билинейная форма А (х, у), полярная квадратичной форме А (х, х) симметрична, то аксиома 1°) выполняется. Аксиомы 2°) и 3°) в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы. Аксиома 4°) выполняется, так как квадратичная форма А (х, х) положительно определена.

Теорема. Любая квадратичная форма А(х, х), заданная в n-мерном линейном пространстве L, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду: А(х,х) = λ₁η₁² + λ₂η₂² +…+λ_nη_n²

Доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата.

Знакоопределенные квадратичные формы.

Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на пространстве L’ пространства L, если k(x)>0 для любого ненулевого вектора x из L’. Форма k отрицательно определена на L’, если k(x)<0 для любого x<>0 из L’.

Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем L.

Квадратичные формы, для которых k(x) 0 или k(x) 0 при любом x, называются соответственно положительно или отрицательно полуопределенными.

Критерий Сильвестра.

Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам

(1)

Миноры вида (1)называются главными минорами матрицы.

Для доказательства нужно преобразования матрицы квадратичной формы.