17 ГиА. Векторное пространство (аксиомы, примеры). Линейная зависимость систем элементов. Базис и размерность векторного пространства. Преобразование координат при переходе к другому базису.

Векторное пространство L(P) над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции:

1) сложения, то есть каждой паре элементов множества x,y L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x+y L и

2) умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу λ P и любому элементу x L ставится в соответствие единственный элемент из L(P) , обозначаемый λx L(P).

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. x+y=y+x, для любых x,y L (коммутативность сложения);

2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,z L (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что x+ = x для любого x L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого x L существует такой элемент -x L , что x+(-x)= (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.

Базис. Размерность

• Конечная сумма вида a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n называется линейной комбинацией элементов x₁,x₂,…,x_n L с коэффициентами a₁,a₂,…,a_n P. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы x₁,x₂,…,x_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

• Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

• Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

• Любой вектор x L можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов: x= a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n

18 ГиА. Евклидово пространство (аксиомы, примеры). Неравенство Коши-Буняковского. Аналог теоремы Пифагора. Алгоритм построения ортонормированного базиса.

Процесс Ортогонализации

19 ГиА. Линейные операторы и операции над ними. Обратимость линейного оператора. Матричная запись линейного оператора в конечномерном векторном пространстве. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Пусть V и W – линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида

А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.

Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x₁ u x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:

1) A (x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂(свойство аддитивности оператора) ;

2) А (λ х) = λ Ах (свойство однородности оператора).

Пусть А и В —два линейных оператора, действующих из V в W.

1. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством (А + В)х = Ах + Вх.

2. Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λА, определяемый равенством (λА)х = λ(Ах).

3. Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W. Иными словами, оператор О дейетвует по правилу Ох = 0.

4. Для каждого оператора А определим противоположный оператор — А посредством соотношения -А = (-1)A

Множество L (V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.

Линейный оператор A: H –> H₁ называется обратимым, если для любого y H₁ уравнение Ax=y имеет не более одного решения. Совокупность всех векторов y H₁,для каждого из которых существует вектор y H такой, что y=Ax, называется образом оператора A и обозначается imA.

Если оператор A обратим, то каждому вектору y можно поставить в соответствие единственный вектор x H, являющийся решением уравнения Ax=y. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и обозначается A^-1.

???

Число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λ х. При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению λ.

Для того чтобы число λ было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характер-кого уравнения det (А - λI) = 0 оператора А.