16. Критерий совместности слау. Построение общего решения по формулам Крамера, методом Гаусса и на основе теоремы о базисном миноре. Фундаментальная система решений однородной слау.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. rangA=rang^~A, r(A)=r(^~A)

Док-во: ( )  решение (1)

r(A)≡r А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (1) в виде:

- линейная комбинация r базисных столбцов максимальное число линейно независимых столбцов ^~A ≡r(A)=r(A)≡r. Аналогично в обратную сторону.

Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов): , – определитель, полученный из основного путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во: (для n = 3) Умножим на A_i1 и складываем правые и левые части:

Аналогично для x₂, x₃.

=>  A-1 => X=A-1B – формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

(1)

АХ=0

r=r(A)=r(^~A), т.к. В = 0. => (1) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует един-ое нулевое решение по теореме Крамера, т.к. все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (1) образует подпространство пространства R_n:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k => достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (1)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр. r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0). 2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det 0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение: