2.5. Інша класифікація алгоритмів

Інша, не залежна від попередньої, класифікація алгоритмів у класі NPR передбачає виділення в функції g_p(D) адитивних компонент в множини D, пов'язаних зі значеннями елементів - g_v(D), та їх порядком - g_s(D). Будемо припускати, що функція g_p(D) представлена у вигляді:

g_p(D) = g_v(D) + g_s(D).

Виділимо в множини підмножину однорідних по суті задачі елементів — D_е , що складається з елементів

Визначимо D_p як множину всіх впорядкованих послідовностей з елементів d_i. Зауважимо, що в загальному випадку

Якщо і відповідні їм множини , тоді порядкова залежність g_s(D) для функції трудомісткості має місце, якщо f_А(D₁) ≠ f_А(D₂) хоча б для однієї пари .

Залежність від значень g_v(D) припускає, що

В залежності від ступіня впливу g_v(D) та g_s(D) на g_p(D) визначають наступні підкласи в класі NPR:

3.а. Підклас NPRS (Sequence) – підклас алгоритмів з кількісною та порядково-залежною функцією трудомісткості:

g_s(D)=Ω(g_v(D))

У цьому випадку трудомісткість залежить від розмірності входу і від порядку розташування однорідних елементів; залежність від значень не може бути повністю виключена, але вона не є суттєвою. У цьому випадку можна говорити про кількісно-порядковий характер функції трудомісткості.

Прикладами можуть служити більшість алгоритмів сортування порівняннями, алгоритми пошуку мінімуму та максимуму в масиві.

3.b. Підклас NPRV (Value) –підклас алгоритмів з функцією трудомісткості, що залежить від довжини входу і значень елементів в D; залежність від порядку не є визначальною:

g_v(D)=Ω(g_s(D))

Прикладом може слугувати алгоритм сортування методом індексів, трудомісткість якого визначається кількістю вхідних чисел і значенням максимального з них. При цьому порядок чисел у масиві взагалі не має впливу на трудомісткість, за винятком фрагмента пошуку максимального елемента, що відноситься до класу NPRS.

Відзначимо, що об'єднання цих підкласів не утворює клас NPR:

NPR \ (NPRS U NPRV) ≠ 0.

Існують алгоритми, в яких і значення, і порядок розташування однорідних елементів мають реальний і істотний вплив на функцію трудомісткості. Наприклад, такими є ітераційні алгоритми розв'язання систем лінійних рівнянь. Очевидно, що як перестановка значень у вхідній матриці, так і зміна самих значень істотно міняють власні числа матриці, які визначають збіжність ітераційного процесу одержання рішення.

2.6. Елементарні операції в процедурній мові високого рівня

Для того, щоб одержати значення функції трудомісткості, необхідно визначити які є операції в моделі обчислень.

Практичні реалізації обчилювальних алгоритмів на мові програмування високого рівня зазвичай містять у собі такі програмні фрагменти:

- діалогове або файлове введення вхідних даних;

• перевірка вхідних даних на допустимість;

• власне розв'язання поставленого завдання;

• представлення (вивід) отриманих результатів.

При аналізу алгоритмів по трудомісткості можна вважати, що обслуговуючі фрагменти програмної реалізації, такі як введення, перевірка та вивід, є загальними або еквівалентними для різних алгоритмів розв'язання даної задачі. Такий підхід приводить до необхідності аналізу тільки безпосереднього розв'язання поставленого завдання. При цьому припускається, що вхідні дані і отримані результати будуть розміщені в «оперативній» пам'яті, включаючи в це поняття як власне оперативну пам'ять, так і кэш пам'ять, регістри і буфери реального процесора. Таким чином, множина "елементарних" операцій, що враховуються в функції трудомісткості, не включає операції введення/виведення даних на зовнішні носії.

Для мови програмування С++ такими "елементарними" операціями будемо вважати наступні:

1. просте присвоювання: = ;

2. одновимірна індексація: a[i] (адреса початку масиву + і * довжину елемента);

3. арифметичні операції: { * , / , - , + };

4. операції порівняння: < , <= , > , >= , = = , != ;

5. логічні операції: && (логічне AND), | | (логічне OR), & (порозрядне AND), | (порозрядне OR),

^ (порозрядне XOR) ;

6. операції адресації в складних типах даних: -> (посилання на член структури за допомогою

вказівника), . (посилання на член структури)

Кілька зауважень стосовно введеного набору "елементарних" операцій:

• з набору елементарних операцій виключається команда переходу, оскільки її можна вважати пов'язаної з операцією порівняння в конструкції розгалуження або циклу за умовою. Таке виключення виправдане забороною використання оператора переходу на мітку в ідеології структурного програмування;

• операції доступу до простих іменованих комірок пам'яті вважаються пов'язаними з операціями, операнди яких вони зберігають.