2.3. Функція трудомісткості і система позначень

Знання асимптотичних оцінок складностей різних алгоритмів розв'язання певного завдання дає можливість порівнювати ці алгоритми з точки зору їхньої ефективності. Однак асимптотичні оцінки вказують лише на порядок функцій, і результати порівняння будуть справедливі тільки при дуже великих розмірах вхідних даних.

Для порівняння ефективності алгоритмів при реальних розмірах входних даних і прогнозування часу виконання їхніх програмних реалізацій необхідне знання про точну кількість операцій досліджуваних алгоритмів, що характеризується функцією трудомісткості. Під трудомісткістю алгоритму для даної конкретної проблеми, що задається множиною D, розуміють кількість "елементарних" операцій, що задаються алгоритмом у прийнятій моделі обчислень. Відповідну функцію позначають як f_А(D). Значенням функції трудомісткості є ціле додатнє число.

Введемо спеціальні позначення, пов'язані із граничними значеннями функції трудомісткості даного алгоритму при фіксованій довжині входу.

Нехай D_A — множина допустимих конкретних проблем даної задачі, що розв'язується алгоритмом А (наприклад, множина комбінацій розміщення елементів вхідного масиву для алгоритму сортування). — конкретна проблема (вхід алгоритму А), що представляє собою впорядковану множину елементів (слів) d:

У загальному випадку існує підмножина множини D_A, що містить всі конкретні проблеми, що мають розмірність n. Позначимо її через D_n :

Позначимо потужність множини D_n через М_Dn =|D_n| . Тоді алгоритм А, маючи на вході різні множини , буде, можливо, задавати в деякому випадку найбільшу, а в деякому випадку найменшу кількість операцій.

Введемо наступні позначення:

1. – найгірший випадок – найбільша кількість операцій, які необхідно виконати алгоритмом А для вирішення конкретної проблеми розмірністю n:

2. – найкращий випадок – найменша кількість операцій, які необхідно виконати алгоритмом А для вирішення конкретної проблеми розмірністю n:

3. – середній випадок – середня кількість операцій, які необхідно виконати алгоритмом А для вирішення конкретної проблеми розмірністю n:

.

2.4. Класифікація алгоритмів на основі функції трудомісткості

Подальше дослідження алгоритмів на основі функції трудомісткості пов'язане з визначенням тих факторів, які впливають на значення функції трудомісткості. До цих факторів можна віднести кількість елементів множини D, значення цих елементів і порядок їх розміщення. На основі такого дослідження можна побудувати класифікацію алгоритмів по ступені впливу цих факторів на функцію трудомісткості.

Виділимо в функції f_A(D) кількісну складову (залежну від n) і параметричну складову (залежну від значень і порядку слідування елементів в D), позначивши їх через f_n(n) та g_p(D)відповідно:

f_А(D) = f_А(f_n(n),g_p(D)).

Для більшості алгоритмів ця залежність може бути представлена як композиція функцій f_n(n) та g_p(D)або в мультиплікативній формі:

f_А(D) = f_n(n) · (D) ,

або в адитивній формі:

f_А(D) = f_n(n) + (D) .

Введемо наступні позначення:

,

В залежності від впливу різних характеристик множини вхідних даних на функцію трудомісткості алгоритму, може бути запропонована наступна класифікація алгоритмів:

1. Клас N (Numerical) – клас кількісно-залежних по трудомісткості алгоритмів. Це алгоритми, функція трудомісткості яких, залежить тільки від розмірності вхідних даних

g⁺(n)=0 , g^*(n)=1 => _fА(D) = _fn(n)

Прикладами алгоритмів з кількісно-залежною функцією трудомісткості можуть слугувати алгоритми для стандартних операцій роботи з масивами і матрицями, наприклад, множення матриць, множення матриці на вектор і т.д. Аналіз таких алгоритмів, як правило, не викликає труднощів. Зауважимо, що для алгоритмів класу N справедливе співвідношення

2. Клас PR (Рarametritic) – клас параметрично-залежних по трудомісткості алгоритмів. Це алгоритми, трудомісткість яких визначається не розмірністю входу (як правило, для цього класу розмірність входу фіксована), а конкретними значеннями всіх або деяких елементів із вхідної множини D:

f_n(n)=const = с => f_А(D) = c · (D)

Прикладами алгоритмів з параметрично-залежною трудомісткістю є алгоритми обчислення стандартних функцій із заданою точністю шляхом обчислення відповідних степеневих рядів. Такі алгоритми, маючи на вході два числових значення - аргумент функції і точність, задають залежну тільки від їх значень кількість операцій. Наприклад:

• обчислення значення x^k методом послідовного множення, f_А(D) = f_А(x,k) ;

• обчислення значення експоненти із заданою точністю ε:

3. Клас NPR – клас кількісно-параметрично залежних по трудомісткості алгоритмів. Це досить широкий клас алгоритмів, тому що в більшості практичних випадків функція трудомісткості залежить як від кількості даних на вході, так і від їхніх значень. У цьому випадку

f_n(n)≠const , g^*(n)≠1 =>

f_А(D) = f_n(n) · (D) або f_А(D) = f_n(n) + (D) .

В якості приклада можна навести ряд алгоритмів чисельних методів, в яких параметрично-залежний зовнішній цикл по точності містить у собі кількісно-залежний фрагмент по розмірності, що породжує мультиплікативну форму для f_А(D).

В залежності від ступеня впливу кількісної і параметричної складових на головний порядок функції трудомісткості виділяють наступні підкласи у класі кількісно-параметричних алгоритмів:

3.1. Підклас NPRL (Low) – підклас алгоритмів, трудомісткость яких слабо залежить від параметричної складової.

g⁺(n)=O(f_n (n)) <=> g^*(n)= Ө(1).

До цього підкласу відноситься, наприклад, алгоритм пошуку максимального елемета в масиві, тому що кількість переприсвоювань максимуму в найгіршому випадку (коли масив відсортований по зростанню) має рівний порядок з оцінкою зовнішнього циклу для перебору n елементів.

3.2. Підклас NPRE (Equivalent) – підклас алгоритмів, у трудомісткості яких складова g^*(n) має порядок росту, не перевищуючий f_n (n):

g^*(n)= Ө(f_n (n)) <=> g⁺(n)=Ө( (n)) .

Таким чином, для алгоритмів цього підкласу вплив на головний порядок функції трудомісткості параметричного компоненту має той самій порядок (в мультиплікативній формі), що й кількісного компоненту. Для алгоритмів, що відносяться до цього підкласу, можна говорити про квадратично-кількісну функцію трудомісткості.

В цей підклас входить, наприклад, алгоритм сортування масиву методом бульбашки, для якого кількість перестановок елементів у найгіршому випадку (коли масив відсортований по спаданню) визначає порядок

g⁺(n)= Ө(n²) , f_n (n)= Ө(n) .

3.3. Підклас NPRH (High) – підклас алгоритмів, у трудомісткості яких складова g^*(n) має асимптотичний порядок росту вищий, ніж f_n (n):

g^*(n)= Ω(f_n (n))

Для алгоритмів цього підкласу саме параметричний компонент визначає головний порядок функції трудомісткості. Можна говорити, що ці алгоритми є кількісно-сильно-параметричними по функції трудомісткості алгоритмами.

У цей підклас входять, наприклад, алгоритми точного розв'язання NP-повних задач.

Для алгоритмів цього підкласу характерна, як правило, мультиплікативна форма функції трудомісткості, що особливо яскраво виражена в алгоритмах більшості ітераційних обчислювальних методів. У них зовнішній цикл по точності породжує параметричну складову, а трудомісткість тіла циклу має кількісну оцінку.