12. Двухэтапная задача стохастического программирования. Построение математической модели

Двухэтапная задача стохастического программирования в общем виде имеет вид:

(1) (2) (3) (4)

Здесь А(ω), В(ω) — случайные матрица и вектор соответственно;

А₁, В₁ — детерминированные.

Сначала решается задача первого этапа (1,2,4) и находится невязка:

DY=B-AX Y ≥ 0

(5) (6)

Здесь D — матрица компенсаций.

Потом составляется и решается задача второго этапа:

(7) (8) (9)

Здесь q — вектор штрафов.

Можно свернуть задачи первого и второго этапов. Тогда получим следующее:

(10) (11) (12) (13) (14)

Обозначим задачу (7,8,9) как P(X,A,B). Тогда задача (10-14) имеет вид:

(15) (16) (17)

13. Двухэтапная задача стохастического программирования. Условие разрешимости задачи второго этапа

Условие разрешимости задачи второго этапа обозначает то, что существует некоторое z, для которого выполняется следующее условие:

Здесь D — невязка, q — вектор штрафов.

Двойственная задача имеет вид:

В таком случае

Здесь Z^* — оптимальное решение двойственной задачи.

14. Двухэтапная задача стохастического программирования. Построение детерминированного эквивалента (общий случай)

Детерминированный эквивалент двухэтапной задачи записывается в виде:

Исследуем функцию . Предположим, что . Функцию распределения F(b_i).

Возможны следующие три случая:

1) ω_i < γ_i

2) γ_i <ω_i<δ_i:

3) ω_i>δ_i:

15. Двухэтапная задача стохастического программирования. Построение детерминированного эквивалента для равномерно распределенного вектора b

Рассмотрим частный случай, когда вектор b_i распределен равномерно на интервале [γ_i ;δ_i]. Тогда функция распределения имеет вид:

1 При ω_i < γ_i

2 При γ_i <ω_i<δ_i:

3 При ω_i>δ_i:

Детерминированный эквивалент имеет вид:

Ограничения

16. Метод проектирования стохастических квазиградиентов решения задач стохастического программирования

Метод проектирования стохастических квазиградиентов основывается на использовании информации о значениях функции, полученных в результате эксперимента:

Здесь R(x) — выпуклое замкнутое множество; f(x) — выпуклая негладкая функция.

Функция f зависит от случайного параметра, т.е. точное значение ее самой и ее производных неизвестно, но имеется возможность многократно измерить ее экспериментальное значение.

Метод проектирования стохастических квазиградиентов может быть применен как для задач стохастического программирования, так и для задач нелинейного программирования с негладкими целевыми функциями.

Суть метода состоит в том, что строится последовательность точек:

Здесь π_R — оператор проектирования на множество R;

ρ — шаг;

γ — проектирующий множитель;

ξ — случайный вектор.

a, b — векторы-константы;

а₁>0. Если значение квазиградиента вычислить сложно, используют разностные схемы.