§ 2.2 Спектры некоторых импульсных сигналов

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.

1 Одиночный прямоугольный импульс. Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью и амплитудой h (рис.2.3).

Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим

(2.2.1)

где – площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 2.3. Спектральная плотность обращается в нуль при , а при ω=0, s(ω)=q.

Замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция s(ω) растягивается, т. е. ширина спектра увеличивается. При увеличении ширина спектра уменьшается.

Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спектральной плотности, т.е. круговой частотой , то для произведения длительности импульса на ширину спектра получим

Это равенство является частным случаем более общего равенства справедливого для всех импульсных сигналов:

(2.2.2)

согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Существует несколько определений длительности импульса и ширины спектра. Согласно одному из них под длительностью импульса (шириной спектра) понимается промежуток времена (полоса частот), в котором сосредоточена подавляющая часть энергии импульса.

2 Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называется импульс, который описывается функцией

(2.2.3)

Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим

(2.2.4)

Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 2.4.

Первой особенностью такого импульса является то, что спектральная плотность его совпадает по форме с временной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра

3 Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта-функцией называется функция бесконечно малой длительности с конечной площадью, равной единице:

Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса с длительностью τ и высотой при . Устремляя в (2.2.1) , для спектральной плотности единичного импульса получим

(2.2.5)

Этот же результат можно получить и обычным способом:

(2.2.5')

так как при всех значениях , а при экспоненциальный множитель обращается в единицу. Здесь использовалось так называемое фильтрующее свойство δ-функции, согласно которому

(2.2.6)

Таким образом, спектр единичного импульса является сплошным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.

Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. импульс очень малой длительности τ, с площадью, равной q. Спектр такого импульса определятся выражением

При малых τ величина и

(2.2.7)

Следовательно, короткий импульс любой формы имеет равномерный спектр вплоть до частот порядка (пока выполняется условие ). Далее спектральная плотность начинает убывать.

4 Единичная функция. Единичная функция, единичный скачок или функция включения записывается в виде

(2.2.8)

Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс можно рассматривать как производную единичной функции:

а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением

(2.2.9)

Используя теорему о спектре интеграла (2.1.31) а выражение (2.2.5), получим

(2.2.10)

Модуль спектра этой функции есть . Зависимость его от частоты показана на рис.2.5 б.

Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на единичную функцию называется переходной характеристикой.

5 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Рассмотрим

пульсов. Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τ и периодом Т (Рис.2.6). Используя (2.1.13). для такой последовательности получим

(2.2.11)

Этот же результат можно было бы получить и из выражения (2.2.1) используя соотношение (2.1.26), согласно котором спектральная плотность s(ω) одиночного импульса длительностью τ точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра амплитуд периодической последовательности таких же импульсов с периодом следования Т. График модуля спектра (2.2.1) для положительных частот показан на рис.2.6.

На основании (2.1.11) и (2.2.11) периодическая последовательность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье следующим образом

(2.2.12)

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неизменной длительности импульса увеличивается период Т последовательности, то расстояние между спектральными линиями уменьшается, расстояние же между нулями огибающей спектра, равное остается неизменным. При неизменной длительности периода Т и изменении длительности импульса будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.

Число гармоник, укладывающихся в интервале или между любыми двумя соседними нулями, будет определяться величиной

(2.2.13)

Величина Q, равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.

6 Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде

(2.2.14)

где τ - длительность импульса, a(t) – огибающая амплитуд, - частота, а - начальная фаза высокочастотного колебания, период которого . Спектральная плотность радиоимпульса в соответствии с (2.1.19) будет равна

(2.2.15)

где

(2.2.16)

– спектральные плотности огибающей импульса a(t), смещенные по оси частот на постоянную величину (ср.с (2.1.30)).

Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса полностью определится спектральной плотностью его огибающий. Можно показать, что при и для большинства радиоимпульсов выполняется условие

(2.2.17)

Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одинокого радиоимпульса можно определять по формуле

(2.2.18)

Проиллюстрируем сказанное на примере радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис.2.7):

(2.2.19)

Из (2.2.15) и (2.2.16) получим

(2.2.20)

откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим

(2.2.21)

График модуля спектральной плотности показан на рис. 2.7

Как и следовало ожидать, отрезок гармонического колебания имеет сплошной спектр. При неограниченном увеличении длительности импульса τ получим гармоническое колебание в точном смысле определения периодическое функции. Сплошной спектр колебания при этом вырождается в одну спектральную линию на частоте .