§ 2. Программа спецкурса «Правильные многогранники» для учащихся старшей школы

Список литературы: 

1. Александров А.Д. и др. Геометрия: учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2005.

2. Атанасян J1.C. и др. Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2000.

3. Баврин И.И., Садчиков В.А. Новые задачи по стереометрии: Фигуры вращения правильных многогранников. -М.: Владос, 2000.

4. Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.

5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000.

6. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. М.: Просвещение, 1993.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. М.: Просвещение, 1983. С. 171,172.

8. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000.

9. Крайнева Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба. // Математика в школе. № 2. - 1994. С. 54-56.

10. Крайнева Л.Б. Задачи по теме «Правильные многогранники». // Математика в школе. -№ 5. - 1994. С. 54-55.

11. Левитин К. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1984.

12. Литвиненко В.Н. Геометрия, 11: Учебное пособие. М. Вербум-М, 2003.

13. Матиясевич Ю. Модели многогранников // Квант. 1978. - №1. - С. 8-17.

14. Погорелое А.В. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 2003.

15. Смирнова КМ. В мире многогранников: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995.

16. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2006.

17. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур: Элективный курс для 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2007.

18. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. М.: Дрофа, 2003.

19. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Многогранники: Элективный курс для 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2007.

20. Шарыгин И.Ф. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2004.§ 3. Основное содержание спецкурса «Правильные многогранники»

21. Общие вопросы, связанные с темой «Правильные многогранники»

22. Но прежде чем начать изучение этой темы, необходимо рассмотреть некоторые определения основных понятий, связанных с правильными многогранниками.

23. Отрезок, который соединяет две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

24. Уточним понятие тела и связанных с ним понятий.

25. Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется телом. Границу тела иначе называют его поверхностью, а фигуру, состоящую из внутренних точек данной фигуры его внутренностью.

26. Шаром с центром О и радиусом г называется фигура, состоящая из всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до точки О не больше г (г> 0)).

27. Границей фигуры называется фигура, состоящая из всех точек пространства, для каждой из которых произвольный шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие данной фигуре, так и точки, не принадлежащие ей.

28. Фигуру называют ограниченной, если существует шар, содержащий эту фигуру.

29. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.

30. Повторить определения двугранного угла, многогранного угла; свойства трехгранного угла).1. Вопросы и задачи

31. Приведите примеры пространственных областей.

32. Назовите примеры предметов и объектов в окружающей обстановке, которые имеют форму многогранника.

33. Приведите примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

34. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

35. Докажите, что, если многогранник лежит целиком по одну сторону от плоскости любой своей грани, то он выпуклый (свойство выпуклого многогранника).

36. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

37. Какое наименьшее число многогранных углов может иметь многогранник?

38. Задачи для самостоятельной работы

39. Сколько ребер может сходиться в вершине многогранника?

40. Приведите примеры веществ, изученных в курсе химии, кристаллы которых имеют форму многогранников.

41. Сколько трехгранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед; в) четырехугольная пирамида?

42. Индивидуальное задание Подготовить сообщения (доклады): «Из истории открытия правильных многогранников», «Пифагор и пять стихий мироздания».1. Рис. 1 Рис. 2

43. Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках.1. Следствия из нее

44. Между числом вершин В, числом граней Г и числом ребер Р любого выпуклого многогранника существует простая зависимость, впервые (около 1620 г.) установленная Р. Декартом и позднее (в 1752 г.) заново открытая Я. Эйлером.

45. Т е о р е м а (Эйлера о выпуклых многогранниках). Сумма числа вершин В и граней Г выпуклого многогранника на две единицы больше числа его ребер Р: В + Г = Р + 2.

46. Выбор такой точки S можно осуществить следующим образом. Рассмотрим все грани многогранника, примыкающие к

47. Наглядно можно представить себе грань а в виде окошка, через которое просматривается внутренность многогранника М. Если многогранник выпуклый, то можно встать настолько близко к окошку, чтобы была видна вся внутренность многогранника.

48. Проектируя из точки S на грань а все остальные грани многогранника, получим на грани а некоторую сеть многоугольников. На этой сети каждой вершине многогранника соответствует один и только один узел, каждому ребру один и только один отрезок.

49. Вычислим теперь двумя различными способами сумму всех плоских углов многогранника.

50. Ad (В + 2d {к - 2). К этой сумме надо прибавить еще сумму углов грани а, т.е. 2d (к - 2). Таким образом, сумма всех плоских углов многогранника оказывается равной:• Z = 4d(B-k) + 4d(k-2) = 4d(B-2). (1)

51. Эту же сумму можно вычислить иным путем. Пусть грани многогранника занумерованы, и грань с номером / имеет г1 ребер.1. Тогда, очевидно,

52. Y = 2d{rl-2) + 2d(r2-2)+.+ 2d(rr-2) = 2d(rl+r2+. + rr) 4с/Г.

53. Но каждое ребро лежит в двух гранях, так что в нашем расчете каждое ребро было учтено дважды, т.е. г\ + гг + . + гг = 2Р.

54. Поэтому I = 2d -2Р 4dr = 4d (Р - Г). (2)

55. Из (I) и (2) непосредственно следует:4d (В 2) = 4с/ (Р - Г).т.е. В + Г = Р + 2, что и требовалось доказать.

56. Теперь перейдем к рассмотрению выпуклых правильных многогранников.

57. Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

58. Обозначим число ребер многогранника, лежащих в одной грани, через п, а число ребер, сходящихся в одной вершине, через т. Выясним, какие правильные многоугольники могут являться гранями правильных многогранников.

59. Сумма плоских углов любого многогранного угла меньше 2ж, поэтомутт(п- 2) 2т 2 2---<2тг, откуда п<-= —— <—тг = 6, т.е.п /и — 2 ^1 — —m 3гранями могут служить только правильные треугольники, квадраты или правильные пятиугольники.1. Ttttl

60. Пусть п = 3, тогда — < 2п, откуда m < 6, т.е. w = 3, 4, 5.

61. Пусть и = 4, тогда ^~-<2п, откуда m < 4, т.е. m = 3.

62. Пусть и = 5, тогда < 2п, откуда m < у, т.е. m = 3.

63. Из рассмотрения случаев 1) 3) видим, что может существовать не более 5 видов правильных многогранников: их существование доказывается построением.

64. Наконец, используя случаи 1) 3) и формулы (3) - (5), можно составить итоговую таблицу 2