5. Магнітне поле навколо провідника зі струмом (закон Ампера).

Криволінійний інтеграл від магнітного поля з індукцією вздовж замкненого контуру є пропорційним повному струменю, що протікає через область, обмежену цим контуром. Це виражається формулою

, (5.26)

де – магнітна проникність вакууму, яка дорівнює .

Приклад 9. Обчислити індукцію магнітного поля у вакуумі на відстані від осі нескінченно довгого провідника зі струмом .

Розв’язання.

Рис. 5.10.

Щоб визначити магнітне поле на відстані від провідника, розглянемо круговий контур радіуса , що розташований перпендикулярно провіднику зі струменем (рис. 5.10). Оскільки поле напрямлено вздовж дотичної до кругового контуру в будь-якій його точці, то скалярний добуток векторів і дорівнює . Тому можна записати . Остаточно одержимо .

5. Електромагнітна індукція в замкненому контурі при зміні магнітного потоку (закон Фарадея).

Електрорушійна сила , що діє вздовж замкненого контуру , за законом Фарадея, дорівнює швидкості зміни магнітного потоку , який проходить через даний контур

. (5.27)

Приклад 10. Оцінити значення електрорушійної сили і електричного поля , що виникають у кільці радіуса см у пасажира літака, при польоті літака в магнітному полі Землі зі швидкістю км/год.

Розв’язання. Оскільки провідне кільце переміщується у магнітному полі Землі, виникає зміна магнітного потоку , яке проходить через кільце.

Припустимо, що магнітне поле перпендикулярно площині кільця. Тоді за час зміна потоку дорівнює

,

де – швидкість літака, – індукція магнітного поля Землі. З останнього виразу отримуємо

.

5. Ньютонов (гравітаційний або електричний) потенціал.

Ньютонов (гравітаційний або електричний) потенціал матеріальної лінії в даній точці , яка розташована поза цією кривою, що має лінійну густину маси (або заряду)

, (5.28)

де – відстань від поточної точки на кривій до точки : .

Приклад 11. Обчислити ньютонов потенціал кола , маси в точці , густина в будь-якій точці кола пропорційна відстані від цієї точки до осі .

Рис. 5.11.

Розв’язання. Запишемо рівняння кола у параметричній формі . Тоді відповідно

, .

Густина в точці дорівнює . Обчислимо коефіцієнт , враховуючи те, що маса кола дорівнює : . Звідки .

Далі за формулою (5.27) потенціал в точці дорівнює:

.

Приклад 12. Тонке плоске кільце рівномірно заряджене додатним зарядом . Знайти напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на вісі кільця на відстані від його центра. Радіус кільця дорівнює .

Розв’язання.

Рис. 5.12.

Нехай площина кільця збігається з площиною (рис. 5.12). Точка – центр кільця, – точка, в якій треба визначити напруженість електричного поля. Оберемо на кільці елемент . Заряд елемента дорівнює , через те, що – лінійна щільність (густина) заряду. Елемент , заряджений зарядом , можна вважати точковим зарядом в точці , і він має напруженість , де – електрична стала, – електрорушійна сила, вектор показано на рис. 5.12, . Враховуючи це .

Розкладемо вектор на складові як показано на рис. 5.12: .

Для обчислення напруженості поля в точці необхідно взаємо виключати за усіма елементами кільця. Оскільки для будь-якого елемента можна знайти симетричний йому відносно центра круга елемент (рівний йому за довжиною), то усі горизонтальні складові напруженості (для елемента – це ) будуть взаємо виключатися. Таким чином, вектор висхідної напруженості буде дорівнювати лише інтегралу від : .

В цьому виразі можна перейти до скалярної форми запису, бо напрямок збігається з напрямком : .

З рис. 5.12 видно, що , а також . Таким чином, .

Остаточно

Таким чином, вектор напруженості електричного поля в точці спрямований вздовж вісі кільця, як показано на рис. 5.12, а модуль напруженості визначається останнім виразом.