5.3. Властивості криволінійного интеграла першого роду.

1) Значення криволінійного интеграла першого роду не залежить від напрямку руху вздовж кривої інтегрування.

2) Лінійність. Для будь-яких чисел і інтегрованих вздовж кривої функцій і справедливе

.

3) Адитивність. Якщо криву розбито на дуги і , то

.

4) Перехід до нерівності під знаком інтеграла. Якщо в усіх точках кривої справедлива нерівність , то

(за умови, що дані інтеграли існують).

5) Справедлива нерівність: .

6) Якщо , то , (5.10)

де – довжина дуги кривої,  – найбільша з усіх часткових дуг, на котрі розбито дугу .

7) Теорема про оцінку інтеграла. Якщо в усіх точках кривої справедлива нерівність , а крива має довжину , то

.

8) Теорема про середнє.

Якщо функція неперервна вздовж кривої , то на цій кривій існує точка така, що .

Зупинимося на застосуванні криволінійного інтеграла першого роду.

5.3. Геометричні застосування криволінійних інтегралів першого роду.

1) Обчислення довжини дуги кривої

Приклад 3. Обчислити довжину дуги астроїди

.

Розв’язання. Враховуючи те, що і є -періодичними функціями, стає очевидним, що точка пробігає контур кривої (рис. 5.4) в зазначеному напрямку, якщо .

Рис. 5.4.

Виходячи з того, що крива є симетричною відносно координатних осей, знайдемо четверту частину її довжини

(враховуючи той факт, що при зміні параметра в межах від до функції та приймають невід’ємні значення, підінтегральний вираз )

.

Остаточно маємо: довжина дуги астроїди (од.).

2) Обчислення площі циліндричної поверхні , розташованної між площиною і поверхнею , з твірною паралельною осі і напрямною лінією , здійснюється за формулою

. (5.11)

Рис. 5.5.

3) Площа поверхні обертання , утвореної обертанням плоскої лінії навколо осі, розташованої у тій самій площині (рис. 5.6), дорівнює

, (5.12)

де – відстань від довільної точки лінії до осі обертання (зокрема, відстань від точки до прямої визначається ).

Рис. 5.6.

Приклад 4. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням лінії : навколо прямої .

Розв’язання. Запишемо рівняння лінії у полярних координатах: , отримаємо – половина однієї петлі лемніскати Бернуллі (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Відстань від точки до прямої визначається за формулою

.

Диференціал довжини дуги

.

За формулою (5.12) площа поверхні

.

5.4. Фізичні застосування криволінійних інтегралів першого роду.

1) Обчислення маси матеріальної кривої

Маса кривої , що задана рівнянням , де – неперервна функція на проміжку , а щільність (густина) кривої в кожній її точці визначається неперервною функцією , визначається за формулою:

. (5.13)

Приклад 5. Знайти масу чверті лемніскати (рис. 5.8), якщо щільність (густина) виражається формулою ( – коефіцієнт пропорційності).

Рис. 5.8.

Розв’язання. Криву (рис. 5.8) задано в полярних координатах тому доцільно і щільність (густину) записати у вигляді . З рівняння кривої випливає . Тому

.