Определение оценок коэффициентов регрессии по данным пассивного эксперимента.
Для определения оценок коэффициентов
проводят серию экспериментов, в каждом
из которых измеряют величины на входах
и выходах исследованного объекта.
Рассмотрим
-ый
эксперимент,
.
Пусть
и
,
где
,
- значения величин
и
в этом эксперименте. Оценка
будет отличаться от измеренного значения
.
Величины
.
Для определения коэффициентов
будет использован метод наименьших
квадратов. В этом случаи оценки
будут находится из условия:
.
Перейдём к матричной форме:
,
,
,
.
Тогда наша зависимость запишется в
виде:
.
Для использования метода наименьшего
квадрата будем рассматривать следующую
величину:
.
Минимум находим из условия:
,
.
Т.к. определение оценок коэффициентов
проводится по искажённым помехам
экспериментальных данных, то для
получения точных оценок нужно, что бы
число экспериментов было
,
где
-число неизвестных параметров, т.к.
.
Определение: Разность между числом
наблюдений
и числом неизвестных параметров
называется число степеней свободы
эксперимента:
.
О правильности построений по
экспериментальным данным регрессионной
модели с уровнем надёжности
можно судить на основании
- критерия Фишера. Для этого определим
отношение:
,
где
- дисперсия, характеризующая рассеяние
эксперимента точек относительно уровня
регрессии,
- дисперсия, характеризующая ошибку
эксперимента,
- выборочная средняя всех результатов
эксперимента. Когда значение
найдено, его сравнивают с табличными
значениями
.
Если
,
то построенная модель считается
адекватной.
Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
В практике деятельности часто возникает необходимость выявления и оценки влияния отдельных факторов на изменчивость какого-либо признака значения, которого могут быть получены опытным путём виде реализации некоторой случайной величины . Под факторами будет пониматься независимые различные показатели. Дисперсионный анализ позволяет установить степень влияния факторов на изменчивость признаков. Количество факторов может быть различно. По количеству факторов различают однофакторный и двухфакторный анализ. Идея дисперсионного анализа заключается в том, что дисперсия изучаемого признака раскладывается на сумму составляющих её дисперсий.
Например:
,
где
- дисперсия, вызванная влиянием фактора
,
- дисперсия, вызванная влиянием фактора
,
- дисперсия, вызванная влиянием фактора
,
- дисперсия, вызванная некоторым
неучтённым фактором
,
- дисперсия изучаемого признака.
Мы будем рассматривать однофакторный дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ
Будем считать, что некоторый фактор изучается следующим образом:
На каждом из
уровней проводится по
измерений
.
Данные эксперимента представлены в
виде следующих таблиц:
№ набл. |
Уровни факторов |
|||||
A1 |
A2 |
… |
Aj |
… |
Am |
|
1 |
x11 |
x12 |
… |
x1j |
… |
x1m |
2 |
x12 |
x22 |
… |
x2j |
… |
x2m |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
k |
xk2 |
xk2 |
… |
xkj |
… |
xkm |
|
|
|
… |
|
… |
|
уровней по измерений .
Факторы
.
Будем рассматривать гипотезу:
:
фактор
не влияет на
.
:
фактор
влияет на
.
- групповые средние.
- общая выборочная средняя принимаемая
.
- фактическая сумма квадратов отклонений
групповых средних от общих средних.
Эта величина характеризует рассеивание между группами:
- остаточная сумма квадратов отклонений,
значения уровня фактов, от групповой
средней.
Эта величина характеризует рассеивание внутри группы:
- общая сумма квадратов отклонений
выборочных значений от общего среднего.
На основании выше перечисленных формул рассчитаем следующие величины:
.
Для выяснения влияния фактора
на признак
сравниваются
и
.
Влияние фактора
на признак
считается заданным при заданном уровне
,
если выполняется условие:
,
где
,
.
Если данное неравенство не выполняется,
то влияние считается незначительным.
Пример:
В таблице приведены данные по объёмам работы выполненной на стройке за смену для 4 бригад. Проверить влияет ли состав бригады на объём выполненной работы.
-
№
№ бригады:
1
2
3
4
1
140
150
148
150
2
144
149
149
155
3
142
152
146
154
4
145
152
147
152
142,75
150,25
147,5
152,75
:
не влияет;
: влияет.
Решение:
,
,
.
Оценим степень этой зависимости с помощью коэффициента детерминирования:
,
,
84,9 % общего изменения ежедневного объёма
выработки связанного с работой смены.