Основные понятия проверки статических гипотез.

Пусть имеется W-пространство неизвестных параметров входящих в плотность распределения . Пространство разбито на k областей . По результатам эксперимента надо ответить на следующий вопрос:

Какой из областей принадлежит неизвестный параметр _.

Определение: Предположение о том, что неизвестный параметр _{принадлежит, какой-либо области} называется альтернативой.

Определение: Совокупность k альтернатив называется k-альтернативной гипотезой.

Замечание: В литературе альтернативой так же называется гипотеза.

Определение: Если область соответствующая какой-либо альтернативе состоит из одной точки, то это альтернатива называется простой, в противном случае сложной.

Определение: Если все альтернативы простые, то гипотеза называется простой.

Определение: Если хотя бы одна альтернатива является сложной, то гипотеза называется сложной.

Обозначим решение, что имеет место i-я альтернатива, через . Тогда построим правило, такое, что для любой (выборки), ставим в соответствие одно из решений .

Решающие правила делятся на:

1. Рандомизированные;

2. Нерандомизированные.

Рандомизированные:

, где , (решение выносится случайным образом).

Нерандомизированные:

В ыборка разбивается на k областей и попадание точки в i-ю область приводит к вынесению решения .

Мы будем рассматривать рандомизированные решающие правила и 2-альтернативные гипотезы:

.

Подход Неймана - Пирсона к выбору решающей функции .

Определение: Ошибкой I-го рода называется ошибка, когда выносится решение (т.е в пользу гипотезы ), а на самом деле верна гипотеза . Ошибка обозначается: .

Определение: Ошибкой II-го рода называется ошибка, когда выносится решение (т.е в пользу гипотезы ), а на самом деле верна гипотеза . Ошибка обозначается: .

Определение: Вероятность вынесения правильного решения в случаи, когда верна гипотеза , называется мощностью критерия: . Желательно, что бы ошибка I-го и II-го рода были равны 0, но это невозможно. При уменьшении вероятности I-го рода мы увеличиваем вероятность ошибки II-го рода и наоборот.

Подход Неймона - Пирса к выбору решения функции заключается в следующем:

Функция выбирается следующим образом:

Вероятность ошибки , нужно делать такой, что бы она не превышала некоторого заданного значения, т.е. , а мощность критерия: .

Определение: Величина называется размерностью критерия, - уровнем значимости.

В случаи 2-альтернативных простых гипотез рассмотрим следующую задачу: ;

.

Если функция - решающая функция, т.е. это вероятность вынесения решения в пользу решения , то по формуле полной вероятности можно записать: .

Задавая уровень значимости решающую функцию мы ищем решая задачу: . Данную задачу решает Лемма Неймана – Пирсона.

Критерии для проверки гипотезы о виде функции распределения.

Пусть дана выборка . Проверяется следующая гипотеза: , где - некоторая известная функция распределения. может быть известна с точностью до неизвестного параметра. Гипотеза проверяется при заданном уровне значимости .

Для построения критерия выше описанной гипотезы множество выборочных значений разбивается на k непересекающихся классов.

Определим число выборочных значений попавших в k-ый класс: .

сравнивается с теоретическими частотами . Теоретические частоты находятся по функции распределения следующим образом:

Пусть - вероятность попадания значения в -ый класс, где : , где - середина -го класса, а - ширина класса, при . Теоретические частоты , где .

Если параметры теоретической функции распределения известны, то величина

, при стремится к . Получаем: , где - это число параметров.

Если выполняется неравенство вида: , то принимаем гипотезу , в противном случае гипотеза отвергается.