Математическая статистика. Вариационные ряды и их характеристики.

Определение: Генеральной совокупностью называется совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению, при статистическом анализе.

Понятие генеральной совокупности аналогична понятию случайной величины.

Генеральная совокупность может быть конечной иди бесконечной.

Определение: Объектом генеральной совокупности называется число её объектов или наблюдений.

Определение: Выборочной совокупностью или выборкой называется часть объектов генеральной совокупности использованной для исследования.

Сущность выборочного метода в математической статистике заключается в том, что бы по определению части генеральной совокупности выборки судить о её свойствах в целом. Для того, что бы по выборке можно было судить о генеральной совокупности выборка должна быть репрезентативной.

Определение: Репрезентативная выборка обеспечивается случаем отбора её элементов, т. к. все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.

Имеется 2 способа образования выборки:

1. повторная выборка (когда каждый элемент случайно обобранный и исследованный возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно);

2. бесповторная выборка (когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность).

Пусть некоторые признаки описания некоторой СВ X. Рассмотрим выборку объёма n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения СВ X. На первом этапе производится ранжирование выборки, т.е. , упорядочены по возрастанию.

Определение: Вариантами называются различные элементы выборки.

Определение: Частотой варианты называется число , показывающая сколько раз варианта встречается в выборке.

Определение: Относительной частотой варианты называется .

Определение: Пусть x – некоторое число, тогда, количество вариант , значение которой < x называется накопленной частотой .

Определение: Относительной накопленной частотой называется .

Определение: Вариационным рядом называется ряд вариант расположенных в порядке возрастания с соответственными частотами и относительными частотами.

Вариационный ряды бывают дискретные и интервальные.

Определение: Дискретным вариационным рядом называется ряд, который представляет собой выборку значений дискретной СВ.

Общий вид вариационного ряда:

Варианты:	x1	X2	…	xk
Частоты:	m1	M2	…	mk

Определение: Интервальным вариационным рядом называется ряд, который представляет собой выборку значений СВ.

Построенный интервал вариационного ряда можно разбить на полуинтервалы вида , т.е. произвести из группировку. Количество интервалов k рекомендовано выбирать по формуле Стерджеса: . Длина каждого интервала .

Подсчитывая количество значений попавших в каждый полуинтервал получаем значение :

Варианты:			…
Частоты:	m1	m2	…	mk

Для наглядности представления дискретного и вариационного ряда используются графические представления:

1. Полигоны.

2. Гистограммы.

3. Камулянты.

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную соединяющую точку с координатой , . Для интервального ряда используется полигон, который представляет собой ломаную соединяющую точки:

, .

Гистограмма служит для представления, только интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатых фигур с прямоугольным основанием, который имеет длину интервала , а высота или .

Кумулянта представляет собой ломаную соединяющую точки с координатами , где - накопленные частоты или для интервалов вариационного ряда: точки .

Определение: Эмпирические функции распределения называются функциями вида: , - накопленные частоты.

Определение: Основной характеристикой вариационного ряда называется его среднее арифметическое или выборочное среднее: .

Для интервального ряда в качестве мы берём середину соответствия интервала.

Вариационный размах: .

Выборочная дисперсия: , , .

Выборочное среднее квадратичное отклонение: .