16. Активные и неактивные ограничения, смысл коэффициентов обобщенной функции Лагранжа.

1ое- условие Куна-Такера, 2ое- уравнение связи, 3е- условие регулярности (Слейтера).

. Т.к. ищем минимум и φ_k(x)≤0 то вся добавка с μ_kφ_k - положительная, т.к μ_k≤0, отсюда – L(x) будет возрастать, а нам надо тобі убывало. Все уравнения для которых μ_k≠0 – активные ограничения и они переходят из неравенства в равенство.

Если точка принадлежит области – все μ_k=0, - можно брать любое.

Если точка оптимума лежит на линии ограничивающей область – 2 μ_k=0, если угловая – то n-1 μ_k≠0 для n-мерного пространства

17. Седловая точка обобщенной функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера о Седловой точке.

(7) L(x, )=f(x)+ (x) (8)

В случае все какие угодно не имеет смысла

Точка ( ), (В) называется Седловой точкой ф-и Лагранжа, если:

L(x*, ) L(x*, *) L(x, *) (9)

Теорема Куна-Такера о Седловой точке L(x)

Если т. ( ) – седловая т. ф-и Лагранжа, удовлетворяющая условию (В), то точка х* есть точкой наименьшего значения ф-и Лагранжа для всех .

Доказательство:

Возьмем произвольное L(x, ). Если < , , то значении ф-и Лагранжа будет

L(x, ) f(x) в силу (8), и

Тогда:

L(x,0) = f(x). Тогда для Седловой точки получим: L(x*,0) f(x*), или просто равно.

Перепишем в виде:

f(x*)= L(x*,0) L(x*, *) L(x, *) f(x).

Тоесть для Седловой точки ф-и Лагранжа значение ф-и цели есть минимум.

Следствие: что бы найти минимум ф-и цели достаточно найти седловую точку ф-и Лагранжа (8).

18. Критерий для седловых точек функции Лагранжа.

Теорема. Критерий седловатости точки.

Точка ( ) при условях (В) есть седловой точкой ф-и Лагранжа тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Необходимости: (следует из определения седл. точки)

По определению седл. точка – это точка минимума.

f(x*)= L(x*,0) < f(x)

из определения: L(x*,0) L(x*, *).

Тогда можем получить что:

f(x*)+ f(x*).

Но в этом случае такого быть не может справедливо что =0 и тогда минимум.

Достаточность:

Пусть ( ) есть точка в которой выполняется (10). Тогда следует из (8) что

L(x*, *)= f(x*).

Если это так, то для произвольных :

L(x*, *)= f(x*) L(x*, ), и точка ( ) – седловая точка.

19. Двойственная функция для ЗНП. Теорема о взаимосвязи экстремумов взаимно двойственных функций.

Двойственная функция в задачах нелинейного програмирования

Пусть

(11)

(12) в силу того, что

20. Теоремы двойственности.

Теорема 1 двойственности

Если для некоторых точек выполняется равенство , то функция цели достигает в точке своего наименьшего значения, а функция достигает в своего наибольшего значения.

Доказательство

Из определения функции и неравенств (11),(12) вытекает, что

Из (12) следует . Следовательно - точка наименьшего значения.

Для выпуклости вверх надо показать

т.к. -линейна.

Надо доказать что - выпуклая

Доказательство

Т.к. , то . Получаем, что если взять промежуточную точку , то

Переходя к определению

Т.е выпукла вверх.

выпукла вниз.

Теорема 2 двойственности

Функция имеет седловую точку тогда и только тогда, когда для

Теоремы двойственности говорят, что для каждой задачи НЛП задачу на минимизацию можно заменить на максимизацию двойственной функции при ограничениях типа неравенств для , и для .

7