Предел и непрерывность

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки  называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки  – это все внутренние точки круга с центром в точке  и радиусом . Определение 2. Число называется пределом функции  при  (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует  (зависящее от ) такое, что для всех  и удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство . Обозначается предел следующим образом:  или . Функция  называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции.

Свойства функции ограниченной замкнутой областью

Назовём множество ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число , что

        Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:

1) функция ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех ;

2) функция принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .

Частная производная Геометрич. Смысл

Частной  производной ф-ии Z=f(x,y) по переменной  х  наз-ся предел  отношения  частного приращения ф-ии по данной переменной к соответствующей приращению переменной когда  последняя → 0   z|x= f|x= ∂z/∂x=∂f/∂x= lim(?х→0) ?хz /?х

Геометрический смысл ЧП-ой состоит в следующем : значение   ЧП-ой по переменной «х» = тангенсу угла наклона на касательной проведённой к кривой получаемой пересечением  поверхностей Z=f(x,y) и  плоскости у=у0.Анологично опр-ся геометрический смысл ЧП-ой по переменной «у». Значение ЧП-ой по переменной «у» = тангенсу угла наклона  касательной проведённой к кривой    к-рая получается при пересечении  поверхности с плоскостью х=х0

Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Теорема о равенстве производных

Частные производные одной и той же функции равны между собой, отличаются лишь порядком дифференцирования, если они непрерывны.

Полным дифференциалом функции  называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. . Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде  или .

Частные производные неявной и сложной функции

Если в уравнении вида каждой паре чисел и из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих этому уравнению, то уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от и . В этом случае говорят, что есть неявная функция от и .

Частные производные и неявной функции находятся по формулам (предполагается, что ): .

Скалярное поле

Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая Rⁿ в R (скалярная функция).