Тест Уайта
Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) для проверки однородности дисперсий ошибок в модели наблюдений
|
(4) |
,
.Критерий имеет два варианта.
Вариант I. В рамках модели
,
,
где
– остатки, полученные при оценивании
основной модели наблюдений, проверяется
гипотеза
,
.
Статистика
критерия равна
,
где
– коэффициент детерминации, получаемый
при оценивании последней модели.
Если
указанная гипотеза верна, то при большом
количестве наблюдений
статистика критерия имеет распределение,
близкое к распределению хи-квадрат с
степенями свободы. Гипотеза
отвергается при заданном уровне
значимости
,
если вычисленное значение
превышает критическое значение, равное
квантили уровня
указанного распределения, т.е. если
.
Вариант II. В рамках модели
,
,
где – остатки, полученные при оценивании основной модели наблюдений, проверяется гипотеза
,
,
.
Статистика критерия равна , где – коэффициент детерминации, получаемый при оценивании последней модели.
Если
указанная гипотеза верна, то при большом
количестве наблюдений
статистика критерия имеет распределение,
близкое к распределению хи-квадрат с
степенями свободы. Гипотеза
отвергается при заданном уровне
значимости
,
если вычисленное значение
превышает критическое значение, равное
квантили уровня
указанного распределения, т.е. если
.
Как и в случае критерия Бройша-Годфри, при интерпретации результатов применения обоих вариантов критерия Уайта следует помнить, что этот критерий асимптотический.
Замечание.
При описании критериев Уайта мы неявно
предполагали, что
.
Если постоянная не включена в исходную
модель наблюдений, то в моделях,
оцениваемых на втором шаге обоих
вариантов критерия Уайта, суммирование
следует производить, начиная с
.
Взвешенный метод наименьших квадратов
Пусть
– стандартное отклонение случайного
члена в наблюдении
.
В том случае если бы было известно
для каждого наблюдения, можно было бы
устранить гетероскедастичность, разделив
каждое наблюдение на соответствующее
ему значение
.
Тогда случайный член в
-м
наблюдении становится равным
,
и его теоретическая дисперсия
представляется в виде:
.
Таким образом, каждое наблюдение будет иметь случайный член, полученный из генеральной совокупности с единичной дисперсией, и модель будет гомоскедастичной. Теперь модель имеет вид:
|
(5) |
,что может быть переписано как
|
(6) |
,где
,
,
,
– новая
переменная. Следует отметить, что в
данном уравнении не должно бытьпостоянного
члена. Оценивая регрессионную зависимость
от
и
,
мы получим эффективные оценки для
и
c несмещенными стандартными ошибками.
Препятствием
для этой процедуры является то, что вам
почти наверняка будут неизвестны
фактические значения
.
Однако процедура будет применимой, если
мы сможем подобрать некоторую величину,
пропорциональную, по нашему мнению,
в каждом наблюдении, и разделим на нее
обе части уравнения.
Вопрос заключается в правильном выборе выражения для среднего квадратического отклонения .