1.3. Свойства логических операций
1.
Отрицание отрицания высказывания х
эквивалентно самому х,
т.е.
.
2. Дизъюнкция и конъюнкция обладают свойством коммутативности т.е.
,
(1.1)
3. Дизъюнкция и конъюнкция ассоциативны, что позволяет опускать скобки в выражениях с этими знаками:
(1.2)
4. Дизъюнкция и конъюнкция обладают свойством дистрибутивности друг по отношению к другу, т.е.
,
(1.3)
.
(1.4)
5. Имеют место соотношения:
,
(1.5)
(1.6),
называемые формулами Моргана. Из этих формул следует, что отрицание булевого выражения f, выраженного через отрицание дизъюнкцию и конъюнкцию, можно получить, если составляющие выражения f заменить их отрицаниями и поменять местами символы дизъюнкции и конъюнкции.
Отметим некоторые полезные соотношения, часто встречаемые при преобразованиях:
(1.7)
1.4. Логические переменные, функции алгебры логики
Значение истинности для некоторых высказываний всегда остается постоянным, например, “5>2”всегда истинно, “8 - нечетное число” всегда ложно. Для других высказываний значение истинности может меняться в зависимости от условий, в которых сделаны эти высказывания. Например, значение высказывания “х-4>2” истинно для значений х>6 и ложно для остальных значений x. В связи с этим возникает понятие логической (булевой) переменной, т.е. переменной, которая принимает только два значения – 1 или 0.
Логические переменные были введены впервые вначале прошлого столетия английским математиком Д. Булем, предложившим своеобразную алгебру, которая оперирует с высказываниями и которая получила в дальнейшем название булевой алгебры.
Пусть имеется n двоичных переменных x1, x2, ... , xn , так, что каждая из них может принимать любое из значений 0 или 1. Назовем двоичным набором ( x1, x2, ... , xn ) совокупность зафиксированных значений переменных. Функцией алгебры логики (булевой функцией) n аргументов мы будем называть функцию, определенную на множестве всевозможных наборов значений двоичных переменных ( x1, x2, ... , xn ), принимающую значение 0 либо 1.
Для того, чтобы задать функцию алгебры логики от n переменных, нужно указать её значение для каждого из 2n наборов значений аргументов, которые образуют область определения булевой функции. Очень часто это делается в виде таблицы с 2n строками, так как это сделано в примере для булевой функции от трех аргументов (таблица 4).
Аналогично тому, как символы 0 и 1 отождествляются с ложным и истинным высказыванием, так и таблица 4 представляет собой таблицу, определяющую ложность и истинность высказывания f(x1, x2, x3) в зависимости от истинности или ложности высказываний x1, x2, x3.
Если функция задана в виде формулы, то для получения таблицы истинности для этой функции достаточно подставить в эту формулу все возможные наборы аргументов x1, x2,...,xn, и используя таблицы истинности для элементарных логических операций, получить все значения данной функции.
Таблица 4
Задание функции в виде таблицы
|
x1 |
x2 |
x3 |
F(x1, x2, x3) |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
1 |
1 |
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
7 |
1 |
1 |
0 |
1 |
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Заметим, что так как каждому набору аргументов (x1, x2, xn) может быть сопоставлено только два значения функции 0 или 1, то число различных булевых функций, зависящих от n аргументов, равно 2n .
Две булевых функции f(x1,x2,... ,xn) и g(x1, x2,...,xn) называются равными, если на всех возможных наборах значений аргументов они принимают одинаковые значения, т.е.
f(x1,x2,... ,xn) =g(x1, x2,...,xn).
В заключение отметим, что если функция задана таблицей истинности, то можно однозначно установить формулу, задающую эту функцию. Доказательство этого факта и методику получения формулы можно найти в [1,5,6].