IV. Особые точки. Теория вычетов

15. Определить изолированные особые точки функции f(z), выяснить их характер, написать разложение в ряд Лорана в окрестности этих точек:

а) б) в)

г) .

16. Используя теорию вычетов, найдите интеграл:

а) б) в) .

Раздел «Уравнения с частными производными»

1. Решить задачу

2. Решить задачу

3. Решить задачу

4. Решить задачу

5. Решить задачу

Раздел «Аналитическая геометрия»

1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно плоскости и образующей угол с прямой .

(Ответ )

2. Определить тип кривой и построить эту кривую в системе координат :

   1. (Ответ эллипс)

   2. (Ответ парабола)

   3. (Ответ гипербола)

1. Вычислите расстояние между параллельными сторонами параллелограмма, построенного на векторах . Ответ ( )

2. Найдите высоту тетраэдра ABCD, опущенного из вершины B, зная, что Ответ ( )

3. Даны два вектора . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой. (Ответ .

Раздел «Алгебра и геометрия»

1. Разложите многочлены на неприводимые над R и C:

.

1. .Найдите размерность линейной оболочки векторов : При каких указанные векторы образуют базис в R⁴ ?

2. Найдите матрицу оператора дифференцирования в пространстве полиномов степени не выше n в базисе .

3. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .

Раздел «Теория групп»

1. Пусть - группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Доказать, что множество корней степени 6 из единицы является циклической подгруппой группы и найти все образующие этой подгруппы.

2. Доказать, что множество является подгруппой группы всех вещественных квадратных матриц с операцией сложения. Пусть – отображение, заданное формулой . Являются ли отображения и , где , и – ограничение отображения ?

Раздел «Топология»

1. Докажите, что связное компактное множество на прямой является отрезком.

Раздел «Теория вероятностей»

1. В каждой из трех урн находится по 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым

2. Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении в пространстве . Найдите функцию распределения третьей стороны.

3. Пусть и – случайные величины, . Доказать, что и – зависимые случайные величины

4. Написаны n писем, предназначенных разным адресатам. Имеется n конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вкладываются в конверты. Пусть – число писем, посланных тем адресатам, которым они предназначены. Найти математическое ожидание .

5. Две точки выбираются наудачу из отрезка [0, 1]. Пусть p и q – координаты этих точек. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение будет иметь вещественные корни.

6. Стержень ломается случайным образом на две части. Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?