Раздел “Математический анализ”
Докажите, что если
сходится, то в ней есть или наибольший
член, или наименьший, или тот и другой.Докажите, что если
,
то среди ее членов есть наименьший.Докажите, что для сходимости монотонной последовательности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности.
Найти
,
если: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.Найти суммы рядов: а)
;
б)
.Найти пределы: а)
(
);
б)
;
в)
;
г)
.Найти интегралы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой: а)
;
б)
.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью: а)
;
б)
.Вычислить интегралы: а)
(
);
б)
(
);
в)
;
г)
.Исследовать на сходимость числовые ряды: а)
;
б)
;
в)
.Исследовать на экстремум следующие функции многих переменных: а)
,
;
б)
;
в)
,
если
,
.
Раздел “Теория функций комплексного переменного”
I. Действия над комплексными числами
Найти аргумент и модуль комплексного числа:
a)
б)
в)
г)
д)*
Найти все значения nN , для которых
,
где i-
мнимая единица.В плоскости комплексного переменного
нарисовать множество точек z ,
удовлетворяющих условию
а)
б)
в)
г)
II. Функции комплексного переменного. Понятие голоморфности
4. Выяснить, голоморфны ли функции
а)
б)
в)
г)
5. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций:
а)
б)
в)
6. Найти образ
полуплоскости {zC:
Im z>0} при отображении
.
7. Найти образ
окружности {z:
}
при отображении
.
8*. Найти образ треугольника с вершинами в точках 0; 1; i при отображении
.
9. Выделите ветви многозначной функции
а)
б)
в)*
Отметьте точки ветвления.
10. Вычислите:
а)
б)
в)
г)*
III. Свойства голоморфных функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
11. Используя интегральную формулу Коши вычислите интеграл:
а)
б)
в)
г)
д)
.
12*. Сформулируйте принцип максимума модуля для голоморфной функции,
рассмотрите
пример
.
13. Поясните , почему
функция
обращающаяся в нуль на бес-
конечности
множестве E={
}
не равна 0 тождественно.
Какой пункт теоремы единственности не выполнен ?
14. Используя теорему Лиувилля, докажите основную теорему алгебры.