§4. Интегрирование тригонометрических выражений

1. Интегралы вида

С помощью известных тригонометрических формул приводится к интегралам

= , =- .

Пример 1. = = +

+ =  sin2x +  sin14x+C= sin2x+

2. Интегралы вида , (n, mN).

а) Если n и m – четные, то интегралы находятся с помощью тригонометрических формул

sin²x= (1-cos2x), cos²x= (1+cos2x), sinxcosx= sin 2x.

б) Если хотя бы одно из чисел n или m – нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель 1-ой степени и вводятся новая переменная.

Пример 2. = = =

= = =

= = -2 .

3. Интегралы вида , где R(U,V) - рациональная функция 2-х аргументов U и V. Заметим, что рациональная функция двух аргументов – это отношение двух многочленов двух переменных, а многочленом двух переменных U и V называется сумма произведений вида а _{m n}U^mVⁿ, где m и n – целые неотрицательные числа, а _{m n} - постоянные числа.

Покажем, что может быть сведен к интегралу от рациональной функции аргумента t подстановкой: t=tg . Действительно

sinx= : sinx= =

cosx= : cosх= =

Из t=tg следует, что =arctgt, x=2arctgt, dx=d(2arctgt)= dt.

Таким образом, = = ,

где R₁(t) – рациональная функция от переменной t .

§5. Интегрирование простейших иррациональностей

1. Интегралы с линейной иррациональностью.

Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность , а  0, то полезна подстановка t= .

Пример 1. = = = = =

=

2. Интегралы с квадратичной иррациональностью.

с помощью выделения в квадратном трехчлене Ах²+Вх+С полного квадрата приводится в зависимости от знака А к одному из табличных интегралов.

§6. Определённый интеграл

1. Понятие определённого интеграла

Разбиением отрезка [a;b] (a<b) называется любая конечная система его точек x_k, k=0,1,2,…,n, такая, что a=x₀<x₁<x₂<…<x_k<…<x_n=b

О бозначим Т= .

Точки x₀,x₁,…,x_n называются точками разбиения, а отрезки [x₀;x₁], [x₁;x₂],…,[x_n-1;x_n] называются частичными отрезками или просто – отрезками разбиения Т.

∆x_k –длина k-го частичного отрезка, ∆x_k=x_k-x_k-1, k=1,2,…,n. λ=λ(t)= – длина наибольшего из частичных отрезков называется рангом или диаметром разбиения.

Если λ стремится к нулю, то длины всех отрезков стремятся к нулю.

Пусть функция y=f(x) задана на [a;b], T= - разбиение этого отрезка. На каждом из частичных отрезков [x_k-1;x_k], выберем произвольным образом по одной точке ξ_k (ξ_k є[x_k-1;x_k], k=1,…,n)

Составим сумму:

(1) S(T,ξ_K)=f(ξ₁)∆x₁+f(ξ₂)∆x₂+…+f(ξ_k)∆x_k+…+f(ξ_n)∆x_n=∑

Множество этих сумм {S(T,ξ_K)} представляет собой числовое множество. Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f на отрезке [a;b]. Сумма (1) зависит от способа разбиения T и от выбора точек ξ_k.

Геометрический смысл интегральной суммы

Пусть f(x)≥0 на [a;b]. f(ξ_k)∆x_k- есть площадь прямоугольника с высотой f(ξ_k) и основанием ∆x_k. Интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.

Определение 1. Число I называется пределом суммы (1) при λ стремящемся к нулю, если для любого ε>0 существует δ>0, такое что для любого разбиения T, удовлетворяющего условию λ<δ и при любом выборе точек ξ_k є[x_k-1;x_k] выполняется неравенство │I-S(T,ξ_k)│< ε.

Обозначается S(T,ξ_k)=I

Определение 2. Если для функции f на [a;b] существует предел интегральных сумм S(T,ξ_K) при λ -0, не зависящий ни от способа разбиения Т отрезка [a;b] ни от выбора точек ξ_k и равный I, то он называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается

Таким образом, согласно определению = S(T,ξ_K) (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f-подынтегральной функцией, x-переменной интегрирования.