2. Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, тогда d(u·v)=v·du+u·dv, udv=d(u·v)–v·du

Интегрируя левую и правую части данного равенства, получим

(3)

Это и есть формула интегрирования по частям.

Примеры.

1. Вычислить .

Положим u=lnx, dv=dx. Тогда du=d(lnx)= ·dх , v=x. Следовательно,

.

2. Вычислить .

Положим u=x, dv=e^xdx. Положим du=dх, = , v=е^x. Значит,

§3. Интегрирование дробно-рациональных функций

1. Основные понятия

Определение. Дробно-рациональной функцией ( или рациональной дробью) называется отношение двух многочленов.

Рациональная дробь называется правильной (неправильной), если степень многочлена, стоящего в числителе меньше (больше или равна) степени многочлена, стоящего в знаменателе, например, дроби: ; ; - правильные, а дроби: ; - неправильные.

Неправильную рациональную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель столбиком и выделив из дроби целую часть, т.е. многочлен. Поэтому будем рассматривать задачу интегрирования правильной рациональной дроби, т.к. интегрирование многочлена не представляет труда. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа так называемых простейших дробей следующих 4-х типов:

1. 2. 3. 4. ,

где A, M, N, a, p, q – действительные числа, ℓ = 2, 3…, квадратный трехчлен х²+рх+q –не имеет действительных корней.

2. Интегрирование простейших рациональных дробей

1. = =А =Аln|t|+C=Aln|x-a|+C.

2. =A A A =

= , (k-1).

3. = =

= = + = =

= ln|t²+α²|+ arctg +C= ,

где .

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Пусть дана правильная рациональная дробь: (1) . Без ограничения общности можно считать, что коэффициент у старшего члена многочлена Q(х) равен 1, т.к. в случае, когда он равен какому-то другому числу, можно разделить числитель и знаменатель дроби на это число. После чего у получившегося в знаменателе многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным 1. Будем предполагать, что коэффициенты, входящие в дробь многочлена – действительные числа. Для многочленов с действительными коэффициентами имеет место соответствующее разложение на множители. Пусть для определенности знаменатель Q(х) разлагается на множители следующим образом: (2) Q(х)=(х-а)^к·(х² +рх+q)^ℓ , где -q<0.

Теорема. Для дроби (1), знаменатель которой имеет вид (2), справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей.

(3) = +…+ + …+

где А₁, А₂ ,… А_к, М₁, N₁,… M_l , N_l - постоянные действительные числа.

Из формулы (3) видно, что линейному множителю х-а знаменателя Q(х) соответствует в разложении (3) простейшие дроби типов (1), (2), а квадратному множителю: х²+рх+q – простейшие дроби типов (3) и (4). При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратичному) равно показателю степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.

Одним из наиболее простых методов нахождения коэффициентов при разложении правой рациональной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов.

Пример. = = =

= =

 2х+3=х²·(А+В)+х·(А+В+С)+А+С

Из равенства двух многочленов следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях х.

х²: А+В=0,

х: А+В+С=2,

х^о : А+С=3.

Отсюда находим:

В=-А, С=3-А,

А–А+3–А=2, А=1, В=-1, С=2.

Тогда = .

= +

Вычислим второй интеграл. Преобразуем числитель таким образом, чтобы в нем находилась производная знаменателя и свободный член

(х²+х+1)^=2х+1; (2х+1)dх=d(х²+х+1)

=- = =

=- =

=- ln|х²+х+1|+C+ =- ln(х²+х+1)+ arctg

Тогда =ln|x+1|- ln(х²+х+1)+ arctg +C=

= + arctg +C.