Интегральное исчисление функций одной переменной

§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: отыскание функции по заданной её производной.

Определение 1. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на данном промежутке, если она дифференцируема на этом промежутке и F(х)=f(x).

Пример: Функция F(х) = х³ является первообразной функции f(x) =3х² на всей числовой оси, т.к. при любом х (х³) =3х² . Отметим при этом, что вместе с функцией F(х)=х³ первообразной для f(x)=3х² является любая функция Ф(х)=х³+C, где С – произвольная константа.

Теорема 1. Если F₁(х) и F₂(х) - две первообразные функции для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Доказательство.

Пусть, например, указанный промежуток – интервал (а; b). Из определения первообразной функции имеем: F₁(х)= f(x) , F ₂ (х) = f(x) для  х из (а; b). Пусть α(x) = F₂(х) - F₁(х), тогда для любого х из (а; b)

α (x)=F ₂ (х) - F₁(х)=f(x) - f(x)=0  α(x)=С.

Подчеркнем важный факт: если производная для функции одна, т.е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоего постоянного слагаемого.

Определение 2. Выражение F(х) + С, где F(х) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , причем f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dх – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак - знаком интеграла. Таким образом, по определению, = F(х) +С, если F(х) = f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у функции f(x) существует первообразная.

2.Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следует его свойства

1. =f(x)

Доказательство.

= F(х) +С. Продифференцируем левую и правую части равенства по переменной х.

=(F(х) +С) ;  = F(х);  = f(x).

2. = F(х) +С

3. =

4. = +

Основная таблица интегралов

1. = +С; α  -1

2. = ln |x| +C

3. =

4. = e^x +C , = +C

5. ,

6. ,

7. = tg x + C , = tg αx + C

8. = - ctg x + C, = · ctg αx + C

9. = arctg x + C

10. = arcsin x + C

11. = ln + C

12. = ln +С

13. = arctg +C

14. =arcsin +C

15. = ln + C

§2. Основные методы интегрирования

1. Замена переменной интегрирования и подстановка

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку: х =(t) , где (t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(x)=f((t)), dх=d(t)=(t)·dt

= (1)

Формула (1) называется формулой подстановки в неопределенном интеграле.

Пример 1. Вычислить .

Положим =t. Тогда x = t² , = , =dt² =(t²)·dt=2t·dt.

Получим .

Пример 2. Вычислить .

Положим е^х=t , получаем е ^-х= , lne^x=ln t, x=ln t, dx=d(ln t)=(ln t)dt= и

= = arctg t + C = arctg е^х + C

Иногда вместо подстановки х=(t) лучше выбрать замену переменной вида (х)=t. Формула замены переменной имеет вид:

, (2)

где (х)dx=dt.

Применяя формулу замены переменной удобно пользоваться таблицей дифференциалов и следующим фактом:

=

Примеры.

1) = = =

2) = =

3) = =