Тема 1.1. Особые случаи при решении задач линейного программирования:

1. Неограниченность задачи.

Признак неограниченности задачи: Если существует такое k, что в z-строке и для всех i в соответствующем столбце симплекс-таблицы, то задача неограниченна.

Пусть k номер столбца, β – текущий базис, тогда , так как таблица описывает результат приведения задачи к текущему базису.

Выделим слагаемое с номером k в ограничениях и ЦФ:

Определим вектор следующим образом:

Пусть X – множество допустимых решений задачи, а – текущее базисное решение; рассмотрим луч .

Для любого план :

Для целевой функции получаем:

при , так как .

Получаем, что для плана «надбавка» v к плану реализуется без дополнительных ресурсных затрат, что невозможно.

Получаем – необходимо изменение исходных данных с целью устранения данной ошибки.

2. Несовместность задачи.

Рассматривается задача в стандартной форме

Здесь столбцы a^j матрицы A описывают технологические способы, элементы вектора b – запас ресурсов или обязательство (цели) по их производству.

В данной формулировке несовместность задачи означает, что применяемые в модели технологии при имеющихся ресурсах не обеспечивают выполнение обязательств и достижение целей.

Так как реальная система как то работает, то несовместность задачи показывает, что проект (модель) нуждается в доработке.

Направления совершенствования модели:

Изменяем правые части ограничений задачи:

Насколько нужно увеличить каждое b_i, чтобы задача стала разрешимой.

Вводим вектор переменных «надбавок» .

где r_i ≥ 0 – «стоимость» изменения правой части.

Важно: «стоимость» должна быть соизмеримой с исходной целевой функцией.

Пусть есть k_i способов увеличения b_i. При этом способ k может увеличить b_i не более чем на с удельными затратами . Также пусть более дешевые способы имеют меньшие номера:

Задача запишется следующим образом:

Утверждение: Если в оптимальном решении последней задачи z_i^k > 0, то z_i^{k`</sup> = d<sub>i</sub><sup>k`} для всех k` < k (способ применяется только после того, как исчерпаны возможности более дешевых способов).

Доказательство: Пусть в оптимальном решении задачи для некоторых k` < k имеем z<sub>i</sub><sup>k</sup> > 0, и z<sub>i</sub><sup>k`</sup> < d_i^{k`</sup>. Тогда существует такое δ >0, что z<sub>i</sub><sup>k</sup> – δ > 0 и z<sub>i</sub><sup>k`} + δ < d_i^{k`</sup>. Заменяя в условиях задачи z<sub>i</sub><sup>k</sup> на z<sub>i</sub><sup>k</sup> – δ, а z<sub>i</sub><sup>k`} на z_i^{k`</sup> + δ, видим, что все они выполняются. Но при этом значение целевой функции выросло на величину δ(r<sub>i</sub><sup>k</sup> – r<sub>i</sub><sup>k`}) . А это противоречит оптимальности решения.

В некотором роде рассмотренные способы изменения правых частей сводятся к задаче добавления нового технологического способа производства.

Возникает вопрос: каким условиям должен соответствовать технологический способ, добавляемый в модель с целью устранения несовместности?

Рассматривается задача P в канонической форме:

c · x → max при Ax = b, x ≥ 0.

Будем считать, что вектор b ≥ 0.

Решение данной задачи происходит с симплекс-метода, с поиска исходного БДР методом искусственного базиса: рассматривается вспомогательная задача P₁, которая всегда разрешима:

– Σ_i t_i → max при Ax + t = b, x ≥ 0, t ≥ 0.

Пусть f₁ – оптимальное решение задачи P₁. | f₁| указывает на минимальную достижимую величину «суммарного невыполнения» ограничений задачи P. Если задача P совместна, то f₁ = 0 , иначе f₁ < 0.

Устранение несовместности задачи – введение такого технологического способа, который повысит значение f₁ (в идеале до нуля).

Рассмотрим задачу P₁^* , двойственную к вспомогательной:

h(y) = b · y → min при yA ≥ 0, y_i ≥ –1 для всех i.

Так как задача P₁ разрешима, то и двойственная к ней будет иметь решение y^* и h(y^*) = f₁.

Предположим, что в исходную задачу вводится новый технологический способ: переменная x ≥ 0 с коэффициентами a_i в ограничениях и c – в целевой функции. Аналогично строится вспомогательная задача P₂.

Она будет отличаться от P₁ введенной дополнительной переменной с теми же коэффициентами в ограничениях и нулевым коэффициентом в ЦФ.

Пусть x допустимое решение задачи P₁, тогда решение (x, x) при x = 0 – допустимо в P₂. Задача P₂ совместна. Двойственная к ней P₂^* – также разрешима.

Отличие задачи P₂^* от задачи P₁^* в ограничении:

Σ_i a_iy_i ≥ 0 (*).

Задачи P₂ и P₂^* разрешимы одновременно по первой теореме двойственности. Их целевые функции имеют одинаковые значения f₂.

Пусть Y₁ и Y₂ – множества допустимых решений задач P₁^* и P₂^* соответственно. Поскольку любое дополнительное ограничение сужает область поиска решения, то Y₁ Y₂.Поэтому f₁ ≤ f₂ – чем шире области минимизации (Y₁), тем меньше минимум.

Если решение задачи P₁^* удовлетворяет условию (*), то оно также является допустимым решением задачи P₂^*: y^* Y₂ и f₂ = min_Y2 h(y) ≤ h(y^*) = f₁

Так как нам нужно, чтобы при добавлении способа значение целевой функции задачи P₁ повышалось (f₁ <f₂), то, c учетом вышеупомянутого замечания, необходимо, чтобы условие (*) не выполнялось.

Утверждение: Для того, чтобы в несовместной задаче P с неотрицательным вектором b после введения нового технологического способа (a₁,…,a_m, c) задача стала совместной, коэффициенты a_i должны удовлетворять условию

Σ_i a_iy_i^* < 0,

где y_i^* – двойственные оценки вспомогательной задачи P₁.

Замечание: Указанное в утверждении условие необходимо, но, вообще говоря, недостаточно, чтобы при введении нового технологического способа задача стала совместной (потребуется введение нескольких дополнительных технологических способов).