Раздел 5.2. Основные методы интегрирования.
Заметим, что интегрирование функции - процесс не простой. Или, как говорят, что если дифференцирование – процесс рутинный (т.е. алгоритмизируемый: некоторая дрессировка и нет проблем), то интегрирование – процесс творческий, и некое подобие интуиции появляется после долгой-долгой тренировки: примерно по 100 интегралов на каждый метод, и 101 интеграл берется уже легко.
Имеются лишь отдельные приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций.
А задача такова: так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы интеграл принял вид либо табличного, либо уже известного интеграла.
5.2.1. Непосредственное интегрирование.
Пользуясь таблицей основных элементарных функций, свойствами неопределенных интегралов, выполнив некоторые тождественные преобразования, можно интегрировать некоторые элементарные функции.
Пример:
.
.
5.2.2. Замена переменной.
Некоторые интегралы сводятся к табличным удачно придуманной подстановкой. При этом проиcходит замена переменной. Не забудьте в случае достижения результата, вернуться к исходной переменной интегрирования.
Примеры:
1.
=
,
2.
,
3.
=
.
5.2.3. Интегрирование по частям.
Пусть функции
и
непрерывно дифференцируемы на некотором
промежутке.
Известно,
.
Проинтегрируем обе части тождества:
,
получаем:
,
или, что все равно:
,
или, короче (и чаще используемый вид):
.
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Точнее было бы название – формула частичного интегрирования, но исторически (как часто бывает, и не только в математике) сложилось так.
Суть метода такова: подинтегральное
выражение следует представить ( по
возможности) в виде произведения
некоторой функции u на
дифференциал dv какой-то
другой; получив uv, если
повезет, оставшийся в правой части
либо уже табличный, либо сводится к
табличному другими известными методами.
Если с первого раза не повезет (это часто
бывает), то пробуйте другие обозначения
u и dv.
При отыскании v по dv достаточно найти одну какую-либо первообразную. Не трудно видеть, что прибавление к ней произвольной постоянной не меняет результата интегрирования, но усложняет промежуточные выкладки.
Пример:
.
Попробуйте обозначить:
.
Разницу увидите сразу.
2.
.
А здесь просто нет никакой другой возможности.
Иногда для получения окончательного результата приходится несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям.
5.2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Всякая рациональная функция
есть дробь
,
где
и
многочлены соответственно n-ой
и m-ой степени.
Если
- дробь правильная.
Если
- дробь неправильная. В этом случаи при
интегрировании дроби сначала следует
выделить целую часть (разделить
на
),
и тогда
,
где
- многочлен, который легко интегрируется,
а
- правильная дробь.
Пример:
1.
,
- правильные дроби.
- неправильная дробь, для интегрирования
ее следует записать в виде
;
- неправильная дробь, для интегрирования
ее следует записать в виде
(разделите “уголком” числитель данной
дроби на знаменатель).
Задача интегрирования дробно-рациональной функции свелась к задаче интегрирования правильной дроби.
Раньше уже рассматривались некоторые частные случаи. Сделаем некоторые обобщения.
Интегралы вида
и
подстановкой
сводятся к табличным.
Интегралы вида
,
,
сводятся к табличному, выделив в
знаменателе полный квадрат, подстановкой
.
Для этого метода интегрирования понадобится еще известная теорема из алгебры.
Теорема. Если
правильная рациональная дробь, знаменатель
которой
можно представить в виде произведения
линейных и квадратичных множителей (с
действительными коэффициентами), то
эта дробь раскладывается на элементарные
дроби:
, то
+
+
.
Пример:
Дробь
-
правильная.
Знаменатель
.
Тогда
.
Коэффициенты A, B, C, D – пока неопределены. Большой любитель может их просто “подбирать”, но, понятно, в математике есть метод нахождения/вычисления этих коэффициентов. Он так и называется: метод неопределенных коэффициентов.
Сущность этого метода покажем на рассматриваемом примере.
В правой части равенства все три дроби приведем к общему знаменателю.
.
Констатируем: дроби равны; знаменатели этих дробей равны.
Значит, числители их тоже равны (в числителе правой дроби сделаны соответствующие тождественные алгебраические преобразования), т.е.
-
.
Многочлены в левой и правой частях равенства равны, следовательно равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, т.е.
Решая полученную систему 4-х линейных
алгебраических уравнений с 4-мя
неизвестными A,B,C,D
любым из известных многочисленных
методов, получаем:
.
А значит,
.
Интегрировать такую дробь уже легко:
=
=
.
Метод интегрирования также называется методом неопределенных коэффициентов.
Если интегрируется неправильная дробь, то, представив ее в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби, процесс становится очевидным.
Пример:
1.
.
2
.
.