Лекция: Алгоритмы поиска с возвращением 4 из 4 с.

Оглавление

Алгоритм поиска с возвращением 1

Обходы ордерева в глубину и в ширину 2

Обходы графа в глубину и в ширину 3

Контрольные вопросы 4

Лекция №23 Алгоритм поиска с возвращением

Рассмотрим общий случай, когда решение задачи имеет вид вектора (а₁, а₂,…), длина которого не определена, но ограничена сверху некоторым (известным или неизвестным) числом r, а каждое а_i является элементом некоторого конечного линейно упорядоченного множества  А_i . Таким образом, при исчерпывающем поиске в качестве возможных решений мы рассматриваем элементы множества  А₁  А₂ … А_i   для любого i, где ir , и среди них выбираем те, которые удовлетворяют ограничениям, определяющим решение задачи.

В качестве начального частичного решения берется пустой вектор ( ) и на основе имеющихся ограничений выясняется, какие элементы из А₁ являются кандидатами для их рассмотрения в качестве а₁ (множество таких элементов а₁ из А₁  ниже обозначается через а₁). В качестве а₁ выбирается наименьший элемент множества S₁, что приводит к частичному решению (а₁) . В общем случае ограничения, описывающие решения, говорят о том, из какого подмножества S_k  множества А_k  выбираются кандидаты для расширения частичного решения от (а₁, а₂,… , а_k-1) до (а₁, а₂,… , а_k-1, а_k) . Если частичное решение (а₁, а₂,… , а_k-1) не предоставляет других возможностей для выбора нового а_k (т.е. у частичного решения (а₁, а₂,… , а_k-1)  либо нет кандидатов для расширения, либо все кандидаты к данному моменту уже использованы), то происходит возврат и осуществляется выбор нового элемента а_k-1 из S_k-1 . Если новый элемент а_k-1   выбрать нельзя, т.е. к данному моменту множество S_k-1  уже пусто, то происходит еще один возврат и делается попытка выбрать новый элемент а_k-2  и т.д.

Общую схему алгоритма, осуществляющего поиск с возвращением для нахождения всех решений, можно представить в следующем виде:

k:=1;  Вычислить S₁ (*например, в качестве S₁ взять А₁  *);  while k>0 do      while не пусто S_k do          (* Продвижение *)          В качестве а_k взять наименьший элемент из S_k , удалив его из S_k           if (а₁, а₂,… , а_k)  является решением          then Записать это решение          end;          if k<r then              k := k + 1; Вычислить S_k              (* Например, в качестве S_k можно взять А_k  *)          end      end;      (* Возврат *) k := k - 1  end;  (* Все решения найдены *) 

Более коротко общую процедуру поиска с возвращением можно записать в рекурсивной форме:

procedure ПОИСК (X: ВЕКТОР; i : Integer);  begin          if Х является решением then записать его end;          if  i <= r then                  Вычислить Si                  for all a from Si  do ПОИСК (X || (a),i+1) end          end  end

Здесь || обозначает операцию конкатенации (соединения) двух векторов, т.е.  (а₁, а₂,… , а_n) || (b₁, b₂,… , b_m)= (а₁, а₂,… , а_n,,b₁, b₂,… , b_m) и () || (а₁) для любых а₁, а₂,… , а_n,,b₁, b₂,… , b_m.

Вызов ПОИСК((),1) находит все решения, причем все возвраты скрыты в механизме, регулирующем рекурсию.

Для иллюстрации того, как описанный метод применяется при решении конкретных задач, рассмотрим задачу нахождения таких расстановок восьми ферзей на шахматной доске, в которых ни один ферзь не атакует другого. Решение расстановки ферзей можно искать в виде вектора (а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆, а₇, а₈), где а_i – номер вертикали, на которой стоит ферзь, находящийся в i-й горизонтали, т.е. А₁ =А₂ =А₃=А₄ =А₅ =А₆ =А₇ =А₈ ={1,2,3,4,5,6,7,8} . Каждое частичное решение – это расстановка N ферзей (где 1N8) в первых N горизонталях таким образом, чтобы эти ферзи не атаковали друг друга. Заметим, что общая процедура поиска с возвращением при применении ее к задаче о расстановке ферзей уточняется таким образом, что в ней не вычисляются и не хранятся явно множества S_k .

Процесс поиска с возвращением удобно описывать в терминах обхода в глубину (см. ниже) дерева поиска решения, которое строится следующим образом. Корень дерева поиска решения (нулевой уровень) соответствует пустому вектору, являющемуся начальным частичным решением. Для любого k1 вершины k-го уровня, являющиеся сыновьями некоторой вершины p, соответствуют частичным решениям (а₁, а₂,… , а_k-1, а_k), где  (а₁, а₂,… , а_k-1)  – это то частичное решение, которое соответствует вершине p, а а_k  S_k; при этом упорядоченность сыновей вершины p отражает упорядоченность соответствующих элементов а_k в S_k .