теории вероятностей экзамен
.pdf
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Вопросы:
1. Формулы комбинаторики ( Cn |
|
n! |
; |
k |
|
|
|
|
|
k!(n k)! |
|
A |
k |
|
n! |
; |
|
|
|
|
|
n |
|
(n k)! |
|
|
|
|
|
|
|
Pn
n!
).
2. Случайные события (достоверное; невозможное; равновероятные (равновозможные); несовместные; независимые; противоположные; полная система событий; событие (элементарный исход), благоприятствующее событию А).
3. Операции в пространстве событий. Свойства операций в пространстве событий.
4. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности. 5. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий.
6. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий.
7. Формула полной вероятности.
8. Формула Байеса.
9. Случайные величины. Дискретная случайная величина. Формула Бернулли.
10. Распределение Пуассона.
11. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
12. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства.
13. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
14. Свойства математического ожидания.
15. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
16. Дисперсия и ее свойства.
17. Равномерное распределение. Его математическое ожидание и дисперсия. 18. Нормальное распределение. Функция Лапласа.
19. Распределения случайных величин:
-Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
-Распределение Пуассона, его математическое ожидание и дисперсия.
-Равномерное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
-Нормальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
20. Правило трёх σ.
Задания:
1. Подбрасывают два кубика. Случайное событие A1 ={на первом кубике
выпадет четное число}, |
A2 |
={на втором кубике выпадет четное число}. Как, |
используя случайные события A1 ,
A2
и знаки операций над событиями,
записать следующие события:
1)В={на обоих кубиках выпадет четное число};
2)С={четное число выпадет только на одном кубике};
3)D={четное число выпадет хотя бы на одном кубике};
4)Е={четное число не выпадет ни на одном кубике}.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
2. Два события А и В имеют вероятности Р(А)=0,2 и Р(В)=0,4 соответственно.
1) чему равна вероятность Р(А+В), если:
а) события А и В несовместны; в) события А и В совместны и независимы; 2) чему равна вероятность Р(А В), если события А и В независимы.
3. Сколько различных способов пересадить 4 человека, сидящих на лавочке?
5.В урне 4 черных и 8 белых шаров. Какова вероятность выбрать наугад: а) два белых шара; б) два шара одного цвета; в) два шара разного цвета.
6.Игральный кубик бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что:
а) шестерка выпадет ровно 2 раза; б) шестерка выпадет хотя бы 1 раз; в) шестерка выпадет менее 2 раз.
7.Один раз подбрасывается игральный кубик (= игральная кость). Случайное событие – выпадение определенного числа очков. Сколько элементарных исходов у этого события? У события: «Число очков меньше 3»?
8.Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
9.Распределение Пуассона, его математическое ожидание и дисперсия.
10.Равномерное распределение, его плотность распределения (= плотность
вероятности)
f
(x)
, функция распределения
F(x)
, математическое ожидание
и дисперсия.
11. Нормальное распределение, его плотность распределения (= плотность
вероятности) |
f (x) , функция распределения |
F(x) , математическое ожидание |
и дисперсия. |
|
|
Ответы:
1. 1)
A |
|
1 |
|
A2
; 2)
_ |
|
A |
|
1 |
|
A2
+
A |
|
1 |
|
_ A2
; 3)
_ |
|
A |
|
1 |
|
A2
+
A |
|
1 |
|
_ A2
+ A1
A2
или
1-
_ |
|
A |
|
1 |
|
_ A2
;
|
_ |
|
4) |
A |
|
1 |
|
_ A2
.
2.1) а) 0,6; в) 0,52; 2) 0,08.
3.24.
4. N 10 |
3 |
1 |
6000; m 1 P( A) |
|
C6 |
|
C 2 |
C 0 |
|
C 2 |
C 0 |
|
C 0 |
C 2 |
|
|
5. а) |
8 |
4 |
; б) |
8 |
4 |
8 |
4 |
; |
||
C 2 |
C 2 |
C 2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
m |
|
|
N |
||
|
||
|
в) |
1 |
. |
|
6000 |
||
|
C |
1 |
C |
1 |
|
|
|
|
||
|
8 |
|
|
4 |
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
12 |
|
|
.
6. |
а) P (2) C |
2 1 2 5 |
; |
|
б) P( A) 1 C |
0 1 |
0 5 |
3 |
; |
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
6 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 0 |
|
5 3 |
1 |
|
1 1 |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) P( A) C3 |
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
6 |
( Ak {выпало k очков}, k 1,2,3,4,5,6 ). |
|
||||||||||||||||||||||||||
8. |
Формула биномиального распределения |
P (k) C k pk qn k ; MX np; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
|
DX npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn X k |
k |
|
|
|
|
|
9. |
Формула распределения Пуассона |
|
e |
|
; np; |
||||||||||
k! |
|
|
|||||||||||||
|
MX ; |
DX . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
при x a и |
x b |
|
|
|
0 |
при |
|
x a |
||||
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
f (x) |
1 |
|
|
|
; |
F (x) |
при a x b ; |
|||||||
|
|
при a x b |
b a |
||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
x b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
(b a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
MX |
; |
DX |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
Говорят, что случайная величина имеет нормальное распределение с |
||||||||||||||
параметрами |
(a, ) , если ее плотность распределения задается функцией |
||||||||||||||
f (x) |
|
1 |
|
|
|
( x a)2 |
|
|
|
|
e |
|
2 2 |
, где |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|||||
a R, R,
0
. Закон распределения такой
величины называют нормальным или законом распределения Гаусса.
Функция распределения такой сл. величины
|
|
1 |
x |
|
F (x) |
|
e |
||
|
|
|
||
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
(t a) |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
dt
.
MX
a
;
DX
2
.
12. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
|
-1 |
|
0 |
|
х3 |
|
р |
|
р1 |
|
0,4 |
|
0,3 |
|
Найдите: 1) р1; |
2) х3 |
, если МХ=0; |
3) F(x)=?; 4) DX=?: 5) σx=? |
||||
13. В квадрат вписан круг. Точку с координатами (х, у) бросают в квадрат, какова вероятность того, что точка попадет в круг?
|
|
0 |
при |
x 0 |
|
14 Может ли функция |
|
|
2 |
при 0 x 2 быть функцией плотности |
|
f (x) x |
|
||||
|
|
|
0 |
при |
x 2 |
|
|
|
|||
распределения некоторой случайной величины Х?
15.Может ли математическое ожидание быть отрицательным?
16.Может ли дисперсия быть отрицательной?
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
17. Найдите функцию плотности распределения, если функция распределения случайной величины Х имеет вид:
|
0 |
|
|
F (x) x |
|
|
1 |
|
|
при |
|
при |
0 |
при |
|
x 0
x 1
x1
.
19. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
|
0 |
при |
x 0 |
|
|
|
при 0 x |
||
f (x) a sin x |
||||
|
0 |
при |
x |
|
|
||||
|
|
|
||
. Найдите коэффициент а.
20. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
|
0 |
|
при |
x 1 |
F (x) |
|
|
3 |
при 1 x 2 |
|
(x 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
x 2 |
|
|
|
|||
вероятность события |
P 0 |
.
Найдите функцию плотности распределения и
X 1,5 .