Решение краевой задачи

Запишем краевую задачу в виде:

,

где коэффициент теплопроводности .

Данное уравнение является нелинейным обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка.

При интегрировании данного уравнения появляются постоянные С₁ и С₂, которые могут быть найдены из условия:

Сделаем замену переменной, чтобы избавиться от неоднородности. Новая переменная является безразмерной функцией:

Подставим U(x) в уравнение краевой задачи:

Где

= =

Решим краевую задачу с помощью метода малого параметра.

Суть метода заключается в том, что решение раскладывается в степенной ряд (по степеням малого параметра ε):

, где ε < 1

-С*d/dx((1+Σε_l+1*y_l)*Σε ^k*y^k)+Σε ^k*y^k=1 Σε ^k*y^k

При к = 0:

При к = 1:

В дальнейшем ограничимся двумя первыми членами ряда, т. е. положим

y(x)≈y₀(x)+ε*y₁(x)

Решение уравнения можно представить в виде:

Решение в нулевом приближении

Решим краевую задачу в нулевом приближении:

при

Поскольку это ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

K_1,2 = ± P

=

В качестве частного решения можно принять:

Запишем фундаментальную систему решений на эквивалентную, содержащую четные и нечетные функции:

;

;

Для НДУ:

y_oн = у_общ + 1

Константы С1 и С2 найдем из граничных условий

Отсюда

C₂ = 0

С₁ =.

Решение задачи в первом приближении

Примем

Граничные условия:

Решение имеет вид:

В данном случае при решении правой части дифференциального уравнения получаем частное решение:

Далее дифференцируем и подставляем в ДУ:

Отсюда

A₂ = B₁ = 0; = ; =

Общее решение будет иметь вид:

Переменные С₃ и С₄ найдем из граничных условий:

;

.

При решении получим:

C₄ = 0

С₃ =

С учетом предыдущего решения, полученного в нулевом приближении, получим:

y(x) = y₀(x) + εy₁(x)

Вернемся к исходной функции:

, где

=

=

=

После подстановки окончательно получим:

Проверка в точке z = πD:

U(z) =

Составим сравнительную таблицу результатов, где U_i – экспериментальные значения температуры в точках x_i;

Û_i(x_i) – значения функции регрессии;

U_k(x_i) – значения функции, полученные при решении краевой задачи;

и

xi	Ui	Ûi(xi)	Uk(xi)

Итоговый график

Используя данную таблицу, построим график функции U(x):

Приложение

Построение графика отклонений:

xi	ε1	ε2

Где

Максимальное отклонение от экспериментальных данных при х = 0,01745 у ε₂ = 2,644.

= 0,05;

U₆ = 59

Подставив значение, получим:

< 0,05

Максимальное по модулю отклонение от экспериментальных данных лежит в пределах допустимой технической погрешности.

Вывод

Снимая результаты измерения U_i случайной величины с математическими ожиданиями U(x_i), мы рассмотрели U(x) соответствующую функцию регрессии и получили ее оценку, применяя метода математической статистики.

При этом наша задача сводилась к отысканию оценок неизвестных параметров a_k с помощью метода наименьших квадратов.

Так как погрешность измерения оказалась настолько мала, что допустимо практически считать, что U_i=U(x_i), то для нахождения значений решений U(x) в промежуточных точках мы воспользовались интерполяционной формулой Лагранжа.

Далее мы нашли коэффициент теплопроводности λ с помощью метода трапеций и по формуле парабол. В данном случае более точным является метод Симпсона.

После этого мы нашли время T₀, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся. Его мы нашли комбинированным методом и методом итераций.

Таким образом найдя соответствующие параметры, распределение температуры U=U(x) решая краевую задачу.

Экспериментальные результаты, полученные при статической обработке данных хорошо согласуются между собой.