Вычисление времени установления режима т0

В начальный момент времени температура стержня равна θ₀. Далее, после помещения стержня в газовый поток с постоянной температурой θ, при достижении некоторого момента времени Т₀ система придет в равновесие. При этом время, по истечении которого температура стержня не будет более меняться, будет вычисляться по следующей формуле:

,

где а – коэффициент температуропроводности, D – диаметр стержня, ξ – наименьший положительный корень уравнения

.

Найдем интервал изоляции корня. Для этого вышеприведенная функция на отрезке [a,b] должна удовлетворять следующим двум условиям: произведение f(a)f(b) < 0; знак производной f^/(x) = const.

Примем в качестве интервала изоляции [ ].

f(x) = Aхsin(x) – cos(x)

Поскольку функция возрастает на интервале, то первое условие выполняется. Вполне очевидно, что и знак первой производной на данном интервале постоянен

Решение нелинейного уравнения комбинированным методом

Суть комбинированного метода состоит в одновременном применении метода хорд и метода касательных.

Если метод хорд дает приближение с недостатком, то метод касательных с избытком наоборот.

f(x) = 0

; .

В качестве начала приближения a₀ в методе хорд принимается тот из концов интервала [a,b], где f(x)f’’(x)<0. В методе касательных за начало приближения b₀ принимается тот из концов интервала [a,b], где f(x)f’’(x)>0.

Суть метода заключается в том, что хорды и касательные, проведенные к графику функции на интервале, выделяют на оси абсцисс ту часть, которая содержит корень. Вычисления производятся до тех пор, пока |a_n - b_n|< ε, где ε = 0,0001 (погрешность метода).

При решении получаем наименьший положительный корень ξ = После подстановки в уравнение

всех данных получаем время установления температурного равновесия Т₀ = с.

Решение нелинейного уравнения методом итерации

Метод итераций – метод повторных приближений.

Приведём уравнение f(x) = 0 к виду x = φ(x). Для этого умножим обе части на произвольное число μ≠0 и добавим к обеим частям x:

φ(x) = x – μf(x)

Поскольку на отрезке [ ] f^/(x)>0, то в качестве μ можно взять:

, где M – максимальное значение первой производной f(x) на интервале, m – минимальное значение производной. Поскольку функция на интервале монотонно возрастает, то M = f”(b) и m = f’(a).

При произведении вычислений получаем M = и m = Следовательно, μ =

Наше уравнение запишем в виде

x = φ(x), где φ(x) = x – μf(x).

Процесс итерации будет являться сходящимся, если на всем интервале изоляции производная φ(x) будет меньше единицы, то есть график функции будет достаточно пологим.

Для нахождения погрешности данного метода воспользуемся следующей формулой:

E = (1-q)ε/q, где q является максимальным значением производной функции на интервале.

Найдём производную:

φ^’(x) = 1- μf’(x).

φ’(a) = , а φ’(b) = .

Выбираем q = При вычислении получаем Е =

Для достижения заданной точности вычисления будем вести до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство:

|x_n – x_n-1|<E.

Приближение ищем по формуле: x_n = φ(x_n-1), n = 0,1,2….

В качестве x₀ возьмём x₀ = (середина интервала).

Получаем ξ =

Т = с.