Задачи интерполяции

Суть интерполяционного метода заключается в том, что заданная функция заменятся другой, близкой ей, принимающей в отдельных точках те же самые значения, что и исходная функция. Данные точки носят название узлов интерполяции.

В качестве интерполируемой функции рассмотрим многочлен g(x)=P_n(x).

Пусть

P_n(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³ + … + b_nxⁿ

На данном этапе требуется найти коэффициенты интерполируемой функции b₀, b₂, b₃,…b_n.

Значения узлов интерполяции задаются следующим выражением:

P_n(x) = U_i

В этом случае уравнения узлов будут иметь следующий вид:

Для точки x₁:

b₀ + b₁x₁ + b₂x²₁ + b₃x³₁ + … + b_nxⁿ₁ = U₁ и т.д.

Вообще, для любой точки x_n уравнение узлов будет иметь следующий вид:

b₀ + b₁x_n + b₂x²_n + b₃x³_n + … + b_nxⁿ_n = U_n

В данном случае степень многочлена n = 5, поскольку при данном n система имеет единственное решение:

P_n(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³ + b₄x⁴ + b₅x⁵.

Для нахождения коэффициентов уравнения воспользуемся методом обратной матрицы. Для этого составим матрицу следующего вида:

После вычисления элементов матрицы получим:

X=

Для нахождения неизвестных коэффициентов решаем в матричном виде:

B = X^-1U, где U – матрица со значениями температуры в узлах интерполяции.

В данном случае имеем

B=

.

Соответственно, искомый многочлен имеет вид:

P₅(x) = x + x² – x³ + x⁴ – x⁵.

Для того, чтобы удостовериться в правильности подсчета, проведем подсчет значения интерполируемой и интерполирующей функции в контрольной точке x = πD, где D = м.

Значение интерполяционного многочлена в контрольной точке:

Вычисление коэффициента теплоотдачи

Коэффициент теплоотдачи α зависит от скорости потока и множества других факторов. Приближенно этот коэф­фициент можно найти как среднее значение функции

на некотором отрезке [0, T], т.е.

Обозначим

В этом случае

Поскольку вычислять интеграл будем приближенно, то будет иметь место погрешность.

;

Погрешность зависит от погрешности интеграла.

- относительная погрешность.

Исходя из допустимой погрешности α, найдём абсолютную допустимую погрешность вычисления определённого интеграла.

, т.к. α > α₀ то допустимая абсолютная погрешность интеграла равна

ΔI = 0,001T.

Следовательно, в нашем случае при Т = с предельно допустимая абсолютная погрешность вычисления интеграла I будет равна ΔI = с.

Вычисление интеграла методом трапеций

Суть любого приближенного метода вычисления некоторого определённого интеграла состоит в том, что подынтегральную функцию заменяют функцией g(x) (f(x)≈g(x)) такой, что первообразная от неё сравнительно просто вычисляется, а далее применяют формулу Ньютона – Лейбница.

(49) ; G^/(x)=g(x)

Разобьем промежуток интегрирования на n равных частей. В данном случае n зависит от погрешности.

Ширина отрезка разбиения – шаг интегрирования – будет вычисляться по формуле:

h = T/n.

На каждом шаге интегрирования заменим интеграл интерполяционным членом первой степени – прямой. В этом случае интеграл будет представлен как сумма площадей трапеций, вписанных под функцию:

Площадь отдельной трапеции будет вычисляться по формуле:

Найдем количество отрезков разбиения. Как было упомянуто выше, n зависит от погрешности:

n = n(δ), где δ = 0,001Т.

В нашем случае , где М₂ – максимальное по модулю значение второй производной функции теплоотдачи на отрезке от 0 до Т сек.

Для нахождения максимума найдем третью производную функции и приравняем ее к нулю:

При решении данного уравнения имеем два корня: f3(x)₁ = и f3(x)₁ =.

Выбираем первое значение М₂ = . Получаем n = .

Полученное значение n следует округлить для ближайшего большего целого значения, поэтому примем n =

После подстановки всех полученных значений в вышеприведенные формулы получаем значение суммы площадей трапеций, равное I=

Следовательно, коэффициент теплоoтдачи составит

т/м²К

Погрешность вычисления α:

|Δα | = α₀ |ΔI|/T < α₀/T * M₂T³/12n² = α₀M₂T²/12n²

Вт/м²К.

Относительная погрешность Δα/α = < 0,001. Требования не нарушены.

Приближенное вычисление определённого

интеграла методом парабол

В методе парабол интервал интегрирования разбивается на чётное число интервалов n и на каждом сдвоенном интервале (x_i; x_i+2) i = 0,1,2….n-2, длиной 2h (h = (b-a)/n). подынтегральная функция f(x) заменяется полиномом Лагранжа 2-й степени.

Приближённое значение определённого интеграла вычисляется как сумма частичных площадей S_j; j = 1,2,…n/2, где S_j есть площадь, ограниченная сверху полиномом Лагранжа 2-й степени.

x_i = a + ih; i = 0..n

y_i = f(x_i); i = 0..n

Погрешность метода парабол

,

b = T; a = 0

Учитывая сложность вычисления M₄, оценку погрешности вычисления определённого интеграла будем производить, используя поправку Рунге.

Зададим произвольное, чётное число интервалов. Вычисленное значение интеграла при этом обозначим I_n

Возьмём n₁ = 2n

Снова вычислим значение интеграла и, обозначив его I_2n , найдём поправку Рунге:

; |R_2n|≤∆I; ∆I = 0.0001T; I = I_2n + R_2n

α = α₀ + (αI)/T

Шаг	I	δ
2		-
4
8

На шаге 8 значение δ = < 0,015. Следовательно, принимаем значение интеграла I = с.

Итак, значение α = 113,966. Погрешность вычисления составила Δα = 7,716*10^-3.