Проверка статистической гипотезы об адекватности модели экспериментальным данным

Имеется выборка, полученная в результате наблюдения зависимости U(x) и состоящая из 6 пар чисел (U_i, x_i). На основании этих данных требуется сделать выбор между двумя моделями функции регрессии:

Ũ₁(x) = ã₀ + ã₁x² и Ũ₂(x) = ã₀ + ã₁x² + ã₂x⁴ .

Предположим, что экспериментальные значения x_i измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения U_i независимы и распределены по нормальному закону с постоянной неизвестной дисперсией σ².

Сформулируем гипотезы Н₀ и Н₁.

Н₀: и отличаются незначительно, тогда первая функция регрессии является адекватной.

Н₁: и отличаются значительно, тогда Ũ₁(х) не является адекватной моделью.

Чем лучше функция регрессии описывает экспериментальные данные, тем меньше для нее должна быть оценка дисперсии отдельного измерения U_i, так как при плохом выборе функции регрессии в эту оценку войдут связанные с этим выбором погрешности.

Выберем уровень значимости (вероятность ошибки первого рода) α=0,05.

В данном случае статистический критерий F= / распределен по закону Фишера с числом степеней свободы r₁ и r₂. по таблицам распределения Фишера находим критическое значение F^α_r1,r2, удовлетворяющее равенству:

P(F> F^α_r1,r2) = α

F^α_r1,r2 = 28.71.

В этом случае область допустимых значений O = (0$ F^α_r1,r2), а критическая –

W = (F^α_r1,r2; ∞).

Если вычисленное значение критерия превосходит F^α_r1,r2, то различие между дисперсиями значительное и гипотезу Н₀ следует отвергнуть и принять за функцию регрессии Ũ₂(x) = ã₀ + ã₁x² + ã₂x⁴.

В нашем случае F= / = 28,71.

Гипотеза Н₀ считается адекватной и, следовательно, функция регрессии имеет вид:

Ũ₁(x) = ã₀ + ã₁x².

Интервальное оценивание функции регрессии

Доверительным называется интервал со случайными границами, который с вероятностью β, близкой к 1, накрывает истинное значение оцениваемого параметра.

Предположим, что x_i измерены без ошибок, а U_i с ошибками ε_i, распределенными по нормальному закону с постоянной, но неизвестной дисперсией и матожиданием, равным 0, то есть M[ε_i] = 0.

Для функции регрессии Ũ₁(x) = ã₀ + ã₁x² строим доверительные интервалы для коэффициентов а_к с доверительной вероятностью β = 0,9.

Так как дисперсия коэффициентов а_к неизвестна, то заменим эти величины на случайные величины Т_к с известной дисперсией.

Пусть Т_к = (а_к – ā_к)/ [ ā_к], где а_к – истинное значение коэффициента, ā_к – несмещенная оценка коэффициента, [ ā_к] – несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения коэффициента а_к.

Случайная величина Т_к имеет закон распределения Стьюдента с числом степеней свободы. Равным 4.

По заданной доверительной вероятности находим границы доверительного интервала так, чтобы выполнялось условие:

Р(Т_к<γ) = β = 0,9.

a_j – ε_j a_j a_j + ε_j

2ε_j

Для вычисления ε_j найдем, прежде всего, S_min (минимальную сумму МНК)

(25)

S_min = 1,49526

В результате вычислений получим оценку дисперсии отдельного измерения по формуле:

(26), где r = n – m = 6 – 2 = 4 (число степеней свободы).

σ² = 0.374

n – число пар экспериментальных данных.

m – число неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Найдём оценку K - корреляционной матрицы оценок коэффициентов функции регрессии по формуле: K = σ²P^-1

Матрица K имеет структуру:

P(a_k - γ σ[a_k] < a_k < a_k + γ σ[a_k]) = β,

где ε_j = γ σ[a_k]

Значения γ находится из таблиц распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности β = 0.9 и числу степеней свободы r = 4, так что имеем γ = 2.71.

Извлекая корни из диагональных элементов матрицы , получим:

= °С

= °С/м².

Ищем доверительные интервалы:

- γ < (а_к – ā_к)/ [ ā_к] < γ

а_к - γ [ ā_к] < a_k < ā_к + γ [ ā_к]

Получим:

< a₀ <

< a₁ <

Вычислим значение оценочной функции в контрольной точке x = πD, где D – диаметр:

Ū(x) = °С.