Цели и основные этапы работы

Целью работы является экспериментальное и теоретической нахождение функции U(х), характеризующей распределение температуры по длине тонкого цилиндрического стержня в установившемся режиме.

Работа состоит из следующих этапов:

1. Выбор вида функции регрессии и построение по экспериментальным данным ее оценки U(x) с помощью МНК. При этом предполагаем, что ошибки измерения распределены по нормальному закону и находим доверительные интервалы для коэффициентов а_к при доверительной вероятности 90%.

2. Проверка статистической гипотезы об адекватности модели экспериментальным данным.

3. Нахождение значений коэффициента α вычисления интеграла методом трапеций и парабол.

4. Определение времени установления режима Т₀ путем решения нелинейного уравнения комбинированным методом и методом итераций.

5. Приближенное решение краевой задачи с помощью метода малого параметра и построение графика решения.

Вариант №.

Исходные данные:

Исходные значения X, U
Xi, м	Ui, 0С
			L = М D = М Ө = 0C Ө0 = 0C λ0 = Вт/(м*к) σλ = 1/К	B = α0 = Т = А =

Задача регрессии

Задача нахождения оценки U(х) неизвестной функции U(х) называется задачей регрессии. Оценкой параметра называется функция выборки, используемая для приближенного отыскания параметра по результатам опыта.

Для решения задачи регрессии используется метод наименьших квадратов.

Функция регрессии U(x) имеет вид: U(x) = a₀ + a₁x².

В качестве оценки коэффициентов регрессии a₀ и a₁ принимаются значения a₀ и a₁, делающие минимальной сумму квадратов отклонений экспериментальных значений U_i от значений оценочной функции регрессии в точках x_i, то есть минимизирующие функцию

[U_i – (a₀ + a₁x_i²)]² , где (a₀ + a₁x_i²) = U(x_i), а

U_i – (a₀ + a₁x_i²) = ε_i

С точки зрения МНК необходимым и достаточным условием минимума является равенство частных производных нулю.

тогда:

Запишем нормальную систему в матричной форме:

Решаем в матричном виде:

A = Р^-1V

В нашем случае имеем:

V₀ =

V₁ = .

В результате решения системы получим:

a₀ = a₁ =

U(x) =

Далее находим значение минимума суммы:

S_min =

Несмещенная оценка измерений находится по формуле:

(26), где r = n – m = 6 – 2 = 4 (число степеней свободы).

=

Допустим, что функция регрессии имеет вид:

U(x) = a₀ + a₁x² + a₂x⁴

[U_i – (a₀ + a₁x_i² + a₂x_i⁴)]² (12), где (a₀ + a₁x_i² + a₂x_i⁴) = U(x_i), а

U_i – (a₀ + a₁x_i² + a₂x_i⁴) = ε_i

Необходимым и достаточным условием минимума является равенство частных производных нулю.

тогда:

Если систему представить в матричном виде, то мы получим:

При подстановке численных значений получим:

a₀ = ⁰C; a₁ = ⁰C/м²; a₂ = ⁰C/м²

Значение минимума суммы:

S_min =

Несмещенная оценка измерений находится по формуле:

, где r = n – m = 6 – 3 = 3 (число степеней свободы).

=